Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jan skal kaste seks terninger på én gang i spillet maxiyatzy.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Jan vil få akkurat én sekser i kastet.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Jan vil få høyst 4 seksere.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at Jan vil få minst én sekser.

Kalkulator

Hvor mange ganger må Jan kaste alle seks terningene for at sannsynligheten for å få minst én sekser skal bli større enn $0,99$ ?

Fasit

$P (X = 1) \approx 0,4019$

$P (X \leq 4) \approx 0,9993$

$P (X \geq 1) \approx 0,6651$

$n = 5 k a s t$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall seksere Jan får når han kaster seks terninger. Hvert terningkast gir en sekser med sannsynlighet $p = \frac{1}{6}$ , uavhengig av de andre kastene, så $X$ er binomisk fordelt med $n = 6$ og $p = \frac{1}{6}$ .

Sannsynligheten for akkurat én sekser er

P (X = 1) = (\binom{6}{1}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{5} \approx 0,4019

Se linje 1 i utklippet under.

Sannsynligheten for høyst 4 seksere er

P (X \leq 4) = \sum_{k = 0}^{4} (\binom{6}{k}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{k} \cdot {(\frac{5}{6})}^{6 - k} \approx 0,9993

Se linje 2 i utklippet.

Sannsynligheten for minst én sekser er komplementet til å ikke få noen seksere i det hele tatt:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {(\frac{5}{6})}^{6} \approx 0,6651

Se linje 3 i utklippet.

GeoGebra CAS-utregning av sannsynlighetene i a, b og c

Hvert kast består av seks terninger. Kaster Jan alle seks terningene $n$ ganger, har han kastet $6 n$ terninger til sammen, og sannsynligheten for minst én sekser er

P (minst én sekser) = 1 - {(\frac{5}{6})}^{6 n}

Vi krever

1 - {(\frac{5}{6})}^{6 n} > 0,99 \Leftrightarrow {(\frac{5}{6})}^{6 n} < 0,01

Løser vi likheten ${(\frac{5}{6})}^{m} = 0,01$ i CAS (linje 4 i utklippet over), får vi $m \approx 25,259$ terninger. Siden $6 n = m$ , blir

n \approx \frac{25,259}{6} \approx 4,21

Siden ${(\frac{5}{6})}^{6 n}$ er en avtagende funksjon av $n$ , må $n$ rundes opp til nærmeste hele tall. Kontroll: $n = 4$ gir $1 - {(\frac{5}{6})}^{24} \approx 0,9874$ , som er for lite, mens $n = 5$ gir $1 - {(\frac{5}{6})}^{30} \approx 0,9958$ .

Jan må dermed kaste alle seks terningene minst

n = 5 g a n g e r

for at sannsynligheten for å få minst én sekser skal bli større enn $0,99$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2008, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk

Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer