Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tenk deg at du har en terning med $n$ sider der antall øyne på sidene er $1, 2, \ldots, n$ . Når du kaster terningen, er alle utfallene like sannsynlige.

Du kaster terningen to ganger. La $X$ være produktet av antall øyne i de to kastene. Dersom for eksempel første kast gir $7$ og andre kast gir $3$ , blir $X$ lik $3 \cdot 7 = 21$ .

La $n = 10$ . Lag et program som kan brukes til å anslå $P(X > 60)$ .

Hva er den minste verdien for $n$ som gjør at $P(X > 60)$ er større enn 0,5?

Fasit

$P(X > 60) = \frac{13}{100} = 0{,}13$

$n = 17$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en terning med $n = 10$ sider. Programmet simulerer mange kast og teller andelen der produktet er større enn 60:

import random

n = 10
antall = 100000
gunstige = 0

for _ in range(antall):
    kast1 = random.randint(1, n)
    kast2 = random.randint(1, n)
    if kast1 * kast2 > 60:
        gunstige += 1

print(gunstige / antall)

Programmet gir en tilnærmet verdi nær $0{,}13$ .

Vi kan også beregne eksakt ved å telle alle 100 utfall $(i, j)$ der $i \cdot j > 60$ :

Par $(i, j)$	Produkt
$(7, 9)$	$63$
$(7, 10)$	$70$
$(8, 8)$	$64$
$(8, 9)$	$72$
$(8, 10)$	$80$
$(9, 7)$	$63$
$(9, 8)$	$72$
$(9, 9)$	$81$
$(9, 10)$	$90$
$(10, 7)$	$70$
$(10, 8)$	$80$
$(10, 9)$	$90$
$(10, 10)$	$100$

Det er 13 gunstige utfall av totalt $10 \cdot 10 = 100$ , så

P(X > 60) = \frac{13}{100} = 0{,}13

Vi utvider programmet til å søke gjennom ulike verdier av $n$ :

for n in range(1, 200):
    total = n * n
    gunstige = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i * j > 60:
                gunstige += 1
    p = gunstige / total
    if p > 0.5:
        print(f"Minste n = {n}, P(X > 60) = {gunstige}/{total} = {p:.4f}")
        break

Programmet gir:

$n$	$P(X > 60)$
$14$	$\approx 0{,}372$
$15$	$\approx 0{,}418$
$16$	$\approx 0{,}465$
$17$	$\approx 0{,}505$

For $n = 16$ er $P(X > 60) = \frac{119}{256} \approx 0{,}465 < 0{,}5$ .

For $n = 17$ er $P(X > 60) = \frac{146}{289} \approx 0{,}505 > 0{,}5$ .

Den minste verdien for $n$ som gjør at $P(X > 60) > 0{,}5$ er $n = 17$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Sync på tvers av enheter

Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave