Temperaturmodell for sjø på Sørlandet

Temperaturmodell for sjø på Sørlandet

Funksjonen TT gitt ved

T(x)=11000(0,0028x3x2+25x3800),0x300T(x) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right), \quad 0 \leq x \leq 300

er en modell for temperaturen T(x)T(x) grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet xx døgn etter 31. desember 2020.

Tegn grafen til TT.

Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.

Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?

Bestem T(100)T(100) og den momentane vekstfarten til TT når x=100x = 100. Gi en praktisk tolkning av hvert av de to svarene.

Fasit

Se graf under.

13,3°C\underline{\underline{\approx 13{,}3 \, \mathrm{°C}}}

0,077°C/døgn\underline{\underline{\approx 0{,}077 \, \text{°C/døgn}}}

T(100)=8,5°CT(100) = \underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{°C}}}; momentan vekstfart =0,091°C/døgn= \underline{\underline{0{,}091 \, \text{°C/døgn}}}

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra og velger et passende vindu for 0x3000 \leq x \leq 300:

T(x)=11000(0,0028x3x2+25x3800)T(x) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right)

Grafen til T(x) for sjøtemperaturen på Sørlandet

Grafen viser at temperaturen starter på litt under 4°C4 \, \mathrm{°C}, synker til et lokalt minimum tidlig i januar, stiger gjennom vinteren og våren til et toppunkt rundt dag 225 (tidlig august), og deretter synker mot slutten av perioden.

Vi bruker kommandoen Extremum(T, 0, 300) i GeoGebra for å finne høyeste og laveste temperatur i intervallet 0,300\langle 0, 300 \rangle.

GeoGebra finner:

  • Laveste temperatur: T3,6°CT \approx 3{,}6 \, \mathrm{°C} ved x13x \approx 13 (rundt 13. januar)
  • Høyeste temperatur: T16,9°CT \approx 16{,}9 \, \mathrm{°C} ved x225x \approx 225 (rundt 13. august)

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er:

16,93,613,3°C16{,}9 - 3{,}6 \approx \mathbf{13{,}3 \, \mathrm{°C}}

Ifølge modellen er forskjellen mellom høyeste og laveste sjøtemperatur de 300 første dagene i 2021 omtrent 13,3°C\underline{\underline{13{,}3 \, \mathrm{°C}}}.

x=0x = 0 er 31. desember 2020, så januar har dager x=1x = 1 til x=31x = 31, februar har dager x=32x = 32 til x=59x = 59, og mars har dager x=60x = 60 til x=90x = 90 (mars har 31 dager).

Den gjennomsnittlige temperaturendringen per døgn i mars er:

T(90)T(59)31=7,615,23312,38310,077°C/døgn\frac{T(90) - T(59)}{31} = \frac{7{,}61 - 5{,}23}{31} \approx \frac{2{,}38}{31} \approx 0{,}077 \, \text{°C/døgn}

Ifølge modellen steg sjøtemperaturen i gjennomsnitt med omtrent 0,077°C\underline{\underline{0{,}077 \, \mathrm{°C}}} per døgn i mars.

Det vil si at sjøen ble omtrent 0,08°C0{,}08 \, \mathrm{°C} varmere for hvert døgn som gikk i mars.

Vi beregner T(100)T(100) ved å sette x=100x = 100:

T(100)=11000(0,002810031002+251003800)T(100) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028 \cdot 100^3 - 100^2 + 25 \cdot 100 - 3800\right) =11000(280010000+25003800)=11000(8500)=8,5= -\frac{1}{1000} \cdot \left(2800 - 10000 + 2500 - 3800\right) = -\frac{1}{1000} \cdot (-8500) = 8{,}5

T(100)=8,5°CT(100) = \underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{°C}}}. Dette betyr at sjøtemperaturen ifølge modellen var 8,5°C8{,}5 \, \mathrm{°C} den 100. dagen i 2021, det vil si rundt 10. april.

Den momentane vekstfarten er den deriverte T(x)T'(x) evaluert i x=100x = 100. Vi bruker GeoGebra til å beregne T(100)T'(100):

T(100)0,091°C/døgnT'(100) \approx 0{,}091 \, \text{°C/døgn}

Den momentane vekstfarten er 0,091°C/døgn\underline{\underline{0{,}091 \, \text{°C/døgn}}}. Dette betyr at sjøtemperaturen økte med omtrent 0,091°C0{,}091 \, \mathrm{°C} per døgn akkurat den 10. april — temperaturen steg altså raskt på dette tidspunktet av året.

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som klart
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
Esc
Tilbake / avslutt