Temperaturmodell for badekar

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen $38^{\circ} C$ . Romtemperaturen er konstant lik $21^{\circ} C$ .

Vi lar $y (t)$ være vannets temperatur i grader celsius etter $t$ timer.

For hånd

Forklar hva $y^{'} (t)$ forteller oss, og hvorfor $y^{'} (t)$ er negativ i denne oppgaven.

Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen $y (t)$ og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er $k$ .

For hånd

Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er

y^{'} = k (y - 21)

For hånd

Forklar hvorfor $y (0) = 38$ . Løs differensiallikningen ved regning.

Kalkulator

Etter 3 timer er vanntemperaturen $27^{\circ} C$ . Bruk dette til å bestemme $k$ .

For hånd

Bestem $\lim_{t \to \infty} y (t)$ . Kommenter svaret.

Fasit

$y^{'} (t)$ er hvor raskt vanntemperaturen endrer seg per time; negativ fordi vannet avkjøles.

Se utledning.

$y (t) = 21 + 17 \cdot e^{k t}$

$k \approx - 0,347$

$\lim_{t \to \infty} y (t) = 21$

LøsningsforslagKI-generert

$y^{'} (t)$ forteller oss hvor fort vanntemperaturen endrer seg, altså den momentane endringsraten til temperaturen (målt i grader celsius per time) ved tidspunktet $t$ .

$y^{'} (t)$ er negativ fordi vannet i badekaret hele tiden er varmere enn romtemperaturen, og derfor avkjøles — temperaturen $y (t)$ avtar med tiden, som betyr at den deriverte er negativ.

Vi antar at temperaturendringen per time, $y^{'}$ , er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen $y$ og romtemperaturen $21^{\circ} C$ . «Proporsjonal med» betyr at det finnes en konstant $k$ slik at

y^{'} = k (y - 21)

Jo større differansen $y - 21$ er (jo varmere vannet er i forhold til rommet), desto raskere avkjøles vannet — og siden $y > 21$ hele tiden og $y^{'}$ skal være negativ, må $k$ være negativ.

$y (0) = 38$ fordi $t = 0$ er starttidspunktet, og vanntemperaturen er da $38^{\circ} C$ (oppgitt innledningsvis).

Vi løser differensiallikningen $y^{'} = k (y - 21)$ ved separasjon av de variable. Siden $y > 21$ , er $y - 21 > 0$ , og vi kan dele på $y - 21$ :

\frac{1}{y - 21} d y = k d t

Integrerer på begge sider:

\int \frac{1}{y - 21} d y = \int k d t

\ln (y - 21) = k t + C

y - 21 = e^{k t + C} = e^{C} \cdot e^{k t}

Setter $A = e^{C}$ :

y (t) = 21 + A \cdot e^{k t}

Vi bruker $y (0) = 38$ til å bestemme $A$ :

38 = 21 + A \cdot e^{0} \Rightarrow A = 17

Dette gir

y (t) = 21 + 17 \cdot e^{k t}

Vi vet at $y (3) = 27$ . Setter inn i uttrykket fra c):

27 = 21 + 17 \cdot e^{3 k}

6 = 17 \cdot e^{3 k}

e^{3 k} = \frac{6}{17}

3 k = \ln (\frac{6}{17})

k = \frac{1}{3} \ln (\frac{6}{17})

GeoGebra CAS gir samme resultat (se Løs(temp(3)=27,k) i utklippet under, der $temp (t) = 21 + 17 e^{k t}$ ):

CAS-løsning for k

k \approx - 0,347

Siden $k \approx - 0,347 < 0$ , går $e^{k t} \to 0$ når $t \to \infty$ . Dermed:

\lim_{t \to \infty} y (t) = \lim_{t \to \infty} (21 + 17 \cdot e^{k t}) = 21 + 17 \cdot 0 = 21

\lim_{t \to \infty} y (t) = 21^{\circ} C

Dette betyr at vanntemperaturen etter lang tid nærmer seg romtemperaturen $21^{\circ} C$ , altså at badevannet til slutt blir like kaldt som rommet det står i — noe som stemmer godt med hvordan vi vet at ting avkjøles i praksis.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2009, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Grenseverdi, Eksponentialfunksjon

Temperaturmodell for badekar

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Temperaturmodell for badekar

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Temperaturmodell for badekar

Temperaturmodell for badekar

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer