Telt med vektorer i rommet

Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene $A(0, 0, 0)$ , $B(3, 1, 2)$ og $C(-1, 3, 1)$ . De tre teltstengene er samlet i toppunktet $T$ .

Bestem arealet av bunnen i teltet.

Lengden av teltstanga fra punkt $C$ til punkt $T$ er $\sqrt{17}$ . Teltstanga fra punkt $A$ til punkt $T$ følger linja $\ell$ , gitt ved

\ell: \begin{cases} x=t &\\ y=t &\\ z=4t & \end{cases}

Bestem koordinatene til toppunktet $T$ .

Fasit

$\dfrac{5}{2}\sqrt{6}$

$T(1,\ 1,\ 4)$

Løsningsforslag

Jeg vet at arealet til et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ , derfor må arealet av bunnen av teltet være gitt ved

A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|

\begin{aligned} \vec{AB} \times \vec{AC} &=\begin{vmatrix} \vec{e}_{x} &\vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ 3 & 1 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \vec{e}_{x} \left( 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \right)- \vec{e}_{y} \left( 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \right)+ \vec{e}_{z} ( 3 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) ) \\ &=\begin{bmatrix} -5, & -5, & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}

Arealet er derfor

A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{ (-5)^{2}+(-5)^{2}+10^{2} }=\frac{1}{2}\sqrt{ 150 }=\frac{1}{2}\sqrt{ 25 \cdot 6 }=\frac{1}{2}5\cdot \sqrt{ 6 }=\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}

Arealet av bunnen av teltet er $\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}$ .

$T$ ligger på linja $\ell$ med parameterframstillingen $T(t, t, 4t)$ . Vi vet at lengden av teltstanga $CT$ er $\sqrt{17}$ , altså $|\vec{CT}| = \sqrt{17}$ . Vi setter opp:

\begin{aligned} |\vec{CT}|^{2} &= 17\\ (t-(-1))^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ (t+1)^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ t^{2}+2t+1+t^{2}-6t+9+16t^{2}-8t+1 &= 17\\ 18t^{2}-12t+11 &= 17\\ 18t^{2}-12t-6 &= 0\\ 3t^{2}-2t-1 &= 0\\ (3t+1)(t-1) &= 0\\ t &= 1 \quad \vee \quad t=-\frac{1}{3} \end{aligned}

Fra figuren skal toppunktet befinne seg over $xy$ -planet, så vi velger $t=1$ .

Koordinatene til toppunktet er $\underline{\underline{T(1,\,1,\,4)}}$ .

Sensorveiledning

Riktig strategi for utregning av kryssprodukt kan gi 1 poeng.

4 poeng

To løsninger uten videre kommentarer kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: vektorer, areal
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon