Vi konstruerer figuren dynamisk: sirkelen med sentrum $S$ er fast, de to tangentene gjennom $M$ (som tangerer sirkelen i $D$ og $E$) er faste, mens den tredje tangenten — den som tangerer sirkelen i $A$ og danner siden $BC$ — kan dras rundt slik at $A$ beveger seg langs den korteste buen mellom $D$ og $E$.

Når $A$ flyttes til ulike plasseringer på buen mellom $D$ og $E$, og vi måler $\angle CSB$ for hver plassering, viser det seg at målingen ikke endrer seg — $\angle CSB$ ser ut til å være konstant, uansett hvor $A$ ligger på buen. Observasjonen stemmer altså godt med påstanden i oppgaven.

1) Trekantene $SDB$ og $SAB$ er kongruente

Vi sammenligner de to rettvinklede trekantene $SDB$ og $SAB$:

• $SD=SA$, siden begge er radier i sirkelen.
• $\angle SDB=\angle SAB=90°$, siden en radius alltid står normalt på tangenten i tangeringspunktet ($SD⟂MB$ i $D$, og $SA⟂BC$ i $A$).
• $SB$ er felles hypotenus for begge trekantene.

Med kjent hypotenus og en kjent katet ($SD=SA$) i to rettvinklede trekanter, er trekantene kongruente (hypotenus-katet-kongruens). Altså er

2) Trekantene $SEC$ og $SAC$ er kongruente

Tilsvarende resonnement for de rettvinklede trekantene $SEC$ og $SAC$:

• $SE=SA$, begge er radier.
• $\angle SEC=\angle SAC=90°$, siden radius står normalt på tangenten i tangeringspunktet ($SE⟂MC$ i $E$, og $SA⟂BC$ i $A$).
• $SC$ er felles hypotenus.

Med samme hypotenus-katet-argument får vi

3) $\angle CSB={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \angle ESD$

Fra kongruensen $△SDB\cong △SAB$ i punkt 1) følger det at de tilsvarende vinklene ved $S$ er like:

Det betyr at linjen $SB$ deler vinkelen $\angle DSA$ på midten.

Fra kongruensen $△SEC\cong △SAC$ i punkt 2) følger på samme måte at

altså deler $SC$ vinkelen $\angle ASE$ på midten.

Siden $A$ ligger mellom $D$ og $E$ på buen, ligger strålen $SA$ mellom strålene $SD$ og $SE$. Rekkefølgen på strålene fra $S$ blir dermed $SD,SB,SA,SC,SE$, og vi kan sette opp

Dermed er

Punktene $D$ og $E$ er tangeringspunktene til de to tangentene gjennom $M$ som ligger fast — de endrer seg ikke når $A$ (og dermed siden $BC$) flyttes. Siden også $S$ er sentrum og dermed fast, er alle de tre punktene $D$, $S$ og $E$ uavhengige av hvor $A$ plasseres. Det betyr at vinkelen $\angle ESD$ har en fast, konstant verdi.

Fra b) vet vi at

Siden $\angle ESD$ er konstant, må også $\angle CSB$ være konstant — uansett hvor tangeringspunktet $A$ ligger på buen mellom $D$ og $E$. Dette bekrefter observasjonen fra a).