Vi finner skjæringspunktene ved å løse $f(x)=g(x)$:

Vi løser $2x^2(x-3)=0$ og får $x=0$ (dobbelt rot) og $x=3$ (enkel rot).

At $x=0$ er et tangentpunkt følger av at $x=0$ er dobbelt rot. Vi kan også vise det direkte: $f^{\prime }(x)=6x^2-12x+2$, så $f^{\prime }(0)=2$. Siden $g^{\prime }(x)=2$ har $f$ og $g$ samme stigningstall ved $x=0$. Punktet er $(0,g(0))=(0,3)$.

At $x=3$ er et ordinært skjæringspunkt følger av at det er enkel rot. Vi kan se det ved at $f^{\prime }(3)=6\cdot 9-12\cdot 3+2=54-36+2=20\ne 2=g^{\prime }(3)$; grafene har ulike stigningstall der. Punktet er $(3,g(3))=(3,9)$.

Vi undersøker $F(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ og $G(x)=cx+d$.

Dette uttrykket har alltid $x=0$ som dobbelt rot (forutsatt $a\ne 0$). En dobbelt rot betyr at grafene berører hverandre uten å krysse, altså at de tangerer hverandre.

Vi kan verifisere: $F^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, og $F^{\prime }(0)=c=G^{\prime }(0)$. Grafene har altså samme stigningstall i $x=0$, og de møtes i punktet $(0,d)$.

Påstanden stemmer: Grafene til $F$ og $G$ tangerer alltid hverandre i punktet $(0,d)$.

Fra del b) vet vi at $F(x)-G(x)=x^2(ax+b)$, som gir skjæringspunktet ved $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ (i tillegg til tangentpunktet $x=0$).

Vendepunktet til $F$ finner vi ved å sette $F^{\prime \prime }(x)=0$:

Vi ser sammenhengen:

Sammenhengen Lise har funnet: $x$-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til $F$ og $G$ er alltid tre ganger $x$-koordinaten til vendepunktet til $F$.

Begrunnelse: Dette følger direkte av faktoriseringen $F(x)-G(x)=x^2(ax+b)$, som gir skjæringspunktet ved $x=-b/a$, kombinert med at vendepunktet til en tredjegradsfunksjon $a{x}^3+b{x}^2+\cdots$ alltid ligger ved $x=-b/(3a)$. Disse to verdiene er alltid i forholdet $3:1$.