Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

På figuren ser du en skisse av grafen til funksjonen $f (x) = x^{3}$ og tangenten $T_{1}$ til grafen i punktet $P (1, 1)$ . På skissen har aksene ulik målestokk.

Graf av f(x)=x³ med tangent T₁ og punkter P og Q

For hånd

Vis ved regning at likningen til tangenten $T_{1}$ er

y = 3 x - 2

Punktet $Q$ på figuren er et annet fellespunkt mellom grafen til $f$ og $T_{1}$ .

For hånd

Forklar at førstekoordinaten til $Q$ må være en løsning av likningen

x^{3} - 3 x + 2 = 0

Bruk polynomdivisjon og løs denne likningen ved regning. Finn koordinatene til $Q$ .

En annen tangent $T_{2}$ til grafen er parallell med tangenten $T_{1}$ .

For hånd

Finn tangeringspunktet $R$ mellom grafen til $f$ og $T_{2}$ ved regning.

Fasit

$y = 3 x - 2$

$Q (- 2, - 8)$

$R (- 1, - 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = x^{3}$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Stigningstallet til tangenten $T_{1}$ i punktet $P (1, 1)$ er

f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} = 3

Tangentlikningen får vi ved ettpunktsformelen med $P (1,1)$ og stigningstall $3$ :

y - 1 = 3 (x - 1)

y = 3 x - 2

Skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og tangenten $T_{1}$ finner vi ved å sette $f (x)$ lik uttrykket for $T_{1}$ :

x^{3} = 3 x - 2

x^{3} - 3 x + 2 = 0

Førstekoordinaten til $Q$ må derfor være en løsning av denne likningen. Vi vet at $x = 1$ (punktet $P$ ) er en løsning, siden $T_{1}$ tangerer grafen i $P$ . Da må $(x - 1)$ være en faktor. Polynomdivisjon gir

(x^{3} - 3 x + 2) \div (x - 1) = x^{2} + x - 2

Vi faktoriserer andregradsuttrykket videre:

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

Dermed er

x^{3} - 3 x + 2 = {(x - 1)}^{2} (x + 2)

noe GeoGebra CAS bekrefter (linje 3 i utklippet). Likningen har løsningene $x = 1$ (dobbel rot, tilsvarer $P$ , siden $T_{1}$ er tangent der) og $x = - 2$ (se linje 4). Dette stemmer med at $Q \neq P$ , så

x_{Q} = - 2

Vi finner $y$ -koordinaten ved å sette inn i $f (x) = x^{3}$ :

f (- 2) = {(- 2)}^{3} = - 8

Q (- 2, - 8)

Tangenten $T_{2}$ er parallell med $T_{1}$ , så $T_{2}$ har samme stigningstall, $3$ . Tangeringspunktet $R = (a, f (a))$ må derfor oppfylle

f^{'} (a) = 3

3 a^{2} = 3

GeoGebra CAS (linje 5 i utklippet) gir løsningene $a = 1$ og $a = - 1$ . Løsningen $a = 1$ tilsvarer punktet $P$ , altså tangenten $T_{1}$ selv. Den andre løsningen gir tangeringspunktet til $T_{2}$ :

a = - 1

f (- 1) = {(- 1)}^{3} = - 1

R (- 1, - 1)

CAS-utregning: derivasjon, faktorisering og likningsløsning

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2010, del 2, oppgave 5-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Tangent, Polynomdivisjon, Nullpunkter

Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer