Grafen til $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ for $x>0$ er en fallende gren av en hyperbel som ligger i første kvadrant. Grafen nærmer seg $y$-aksen når $x\to 0^{+}$, og nærmer seg $x$-aksen når $x\to \infty$ — begge koordinataksene er altså asymptoter til grafen.

For $a=2$ er tangeringspunktet $(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$. Ved avlesning på grafen (eller ved regning, se d og e) finner vi at tangenten skjærer $x$-aksen i $A=(4,0)$ og $y$-aksen i $B=(0,1)$.

Arealet av $△OAB$ er da

$\underline{\underline{\text{Areal}=2}}$

På samme måte for $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$: tangenten skjærer aksene i $A=(1,0)$ og $B=(0,4)$, som gir

For $a=3$: tangenten skjærer aksene i $A=(6,0)$ og $B=(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$, som gir

Alle tre beregningene (a = 2, $\frac{1}{2}$ og 3) gir samme areal, $\underline{\underline{\text{Areal}=2}}$. Dette tyder på at arealet av $△OAB$ er uavhengig av hvilket punkt $a$ vi velger å legge tangenten i — noe vi undersøker analytisk i d) og e).

Den deriverte av $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$ er

Tangenten til $f$ i punktet $(a,f(a))$ har stigningstall $f^{\prime }(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$ og går gjennom $(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})$:

Dette bekreftes i GeoGebra CAS (linje 2 og 3 i utklippet).

Skjæring med $x$-aksen ($A$): sett $y=0$:

Altså $A=(2a,0)$ (se linje 4 i utklippet: $\{x=2a\}$).

Skjæring med $y$-aksen ($B$): sett $x=0$:

Altså $B=(0,{\displaystyle \frac{2}{a}})$.

Areal av $△OAB$: Siden $△OAB$ er rettvinklet i $O$, med kateter langs aksene lik $|OA|=2a$ og $|OB|={\displaystyle \frac{2}{a}}$, blir

(bekreftet i linje 5 i utklippet: Forenkle(...) gir $2$).

Arealet er altså konstant lik 2, uavhengig av hvor på grafen ($a>0$) tangenten legges — i samsvar med de tre tallverdiene fra b) og c), som også ble kontrollert numerisk i CAS (linje 6–8 i utklippet).