Tangens, derivert og integral

Vis at dersom $f(x) = \tan x$ , så er $f'(x) = 1 + \tan^2 x$ .

Regn ut

\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x} \, dx

Fasit

$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

$\underline{\underline{\ln|\tan x| + C}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $f(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ og bruker kvotientregelen

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

med $u = \sin x$ , $u' = \cos x$ , $v = \cos x$ , $v' = -\sin x$ :

f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}

Siden $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (Pytagoreisk identitet) får vi

f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}

Vi kan også skrive dette som

\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Dermed er $\mathbf{f'(x) = 1 + \tan^2 x}$ . $\square$

Vi kjenner igjen telleren fra del a): $f'(x) = 1 + \tan^2 x$ er den deriverte av $\tan x$ .

Vi bruker substitusjonen $u = \tan x$ , som gir $\mathrm{d}u = (1 + \tan^2 x)\,\mathrm{d}x$ :

\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln|u| + C = \underline{\underline{\ln|\tan x| + C}}

Oppgavedata

Temaer: trigonometri, derivasjon, integral
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer