Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Silje lager to typer syltetøy.
Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker. Type 2 inneholder 40 % bær og 60 % sukker.
Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy.
Hun har 20 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av.
Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 20 kg bær og 5 kg sukker?
Hun kan selge syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glass og syltetøyet av type 2 for 40 kroner per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet?
Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå.
Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type 2 blir dyrest.
Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner mer per glass å lage syltetøy av type 2 enn av type 1.
Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være.
Fasit
LøsningsforslagKI-generert
Vi lar være antall glass av type 1, og være antall glass av type 2.
Type 1 inneholder bær og sukker, mens type 2 inneholder bær og sukker. Siden hvert glass rommer syltetøy, gir bær-mengden og sukker-mengden likningssystemet
Vi ganger den andre likningen med :
Trekker fra den første likningen:
Setter inn i den andre opprinnelige likningen:
Kontroll: bær, og sukker. Stemmer.
Silje må lage .
Inntekten når hun lager glass av type 1 og glass av type 2 er
For å vise at dette faktisk er den høyeste inntekten Silje kan oppnå, setter vi opp problemet som et lineært optimeringsproblem. Vi tillater nå at hun ikke nødvendigvis bruker opp all bær og alt sukker, men at hun ikke kan bruke mer enn det hun har:
Målfunksjonen (inntekten) som skal maksimeres er
Det tillatte området er avgrenset av linjene og (i tillegg til aksene). Toppunktene i det tillatte området er
Maksimum av en lineær målfunksjon over et slikt område finnes alltid i et av toppunktene. Vi regner ut inntekten i hvert av dem:
| Toppunkt | $I = 80x + 40y$ |
|---|---|
| $(0,0)$ | $0 \, \mathrm{kr}$ |
| $(22{,}2, \, 0)$ | $\approx 1778 \, \mathrm{kr}$ |
| $(20, \, 5)$ | $1800 \, \mathrm{kr}$ |
| $(0, \, 8{,}3)$ | $\approx 333 \, \mathrm{kr}$ |
Grafen under viser de to begrensningslinjene og , skjæringspunktet , og inntektslinjen som går gjennom . Det tillatte området ligger under/venstre for begge begrensningslinjene, og inntektslinjen berører dette området nettopp i toppunktet — flytter vi inntektslinjen lenger ut (høyere inntekt), havner den utenfor det tillatte området.
Tabellen og grafen bekrefter at inntekten er størst i , altså er den høyeste inntekten Silje kan oppnå.
Nå koster bær per kilogram, og vi lar være prisen per kilogram sukker.
Kostnaden per glass av type 1 (som inneholder bær og sukker) er
Kostnaden per glass av type 2 (som inneholder bær og sukker) er
Type 2 skal koste kroner mer per glass enn type 1:
Prisen per kilogram sukker må være .