Dette er en utforskende oppgave. Det finnes ikke ett riktig svar — poenget er å stille gode spørsmål, undersøke med tall, og generalisere med algebra. Under vises ett mulig løp gjennom oppgaven. Velger eleven andre spørsmål eller andre eksempeltall, kan det gi like god eller bedre uttelling, så lenge framgangsmåten er systematisk og konklusjonen er begrunnet.

Spørsmål 1: Er summen av fem påfølgende heltall alltid delelig med 5?

Undersøkelse med eksempler.

Alle summene er delelige med 5. Det tyder på at påstanden stemmer, men noen eksempler beviser ikke at det gjelder for alle heltall. Derfor generaliserer vi med algebra.

Generalisering. La $n$ være det minste av de fem påfølgende heltallene. Da er tallene $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ og $n+4$, og summen blir

Siden $S=5\cdot (n+2)$ og $n+2$ er et heltall, er $S$ alltid et multiplum av 5, uansett hvilket heltall $n$ vi starter med. Påstand 1 stemmer.

Spørsmål 2: Er summen av seks påfølgende heltall aldri delelig med 6?

Undersøkelse med eksempler.

Ingen av summene går opp i 6 — begge gir rest 3. Vi generaliserer for å se om det alltid er slik.

Generalisering. La $n$ være det minste av de seks tallene: $n,n+1,\dots ,n+5$.

Leddet $6(n+2)$ er alltid delelig med 6, men resten $+3$ blir liggende igjen uansett hva $n$ er. Summen $S$ gir derfor alltid rest 3 ved divisjon med 6, og er aldri delelig med 6. Påstand 2 stemmer.

Spørsmål 3: Er summen av sju påfølgende heltall noen ganger delelig med 7?

Undersøkelse med eksempler.

Her overrasker resultatet: alle eksemplene er delelige med 7, ikke bare noen. Det tyder på at det skjer oftere enn påstanden sier — kanskje alltid. Vi sjekker med algebra.

Generalisering. La $n$ være det minste av de sju tallene: $n,n+1,\dots ,n+6$.

Siden $S=7\cdot (n+3)$, er summen av sju påfølgende heltall alltid delelig med 7 — ikke bare noen ganger. Påstand 3 er derfor feil — den burde vært «summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med 7».

Spørsmål 4 (utvidelse): Hva avgjør om summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$?

Mønsteret i de tre foregående svarene er tydelig: 5 og 7 er oddetall og ga «alltid», mens 6 er et partall og ga «aldri». Vi undersøker om det er antallet tall som er oddetall eller partall som avgjør svaret.

Generalisering. La $n$ være det minste av $k$ påfølgende heltall: $n,n+1,\dots ,n+(k-1)$. Summen av alle leddene $n$-delene gir $k\cdot n$, og summen av «pluss-tallene» $0+1+2+\cdots +(k-1)$ blir ${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$ (Gauss’ sum). Dermed er

• Når $k$ er oddetall: da er $k-1$ et partall, så ${\displaystyle \frac{k-1}{2}}$ er et helt tall. Da kan vi skrive $S=k(n+{\displaystyle \frac{k-1}{2}})$, som er $k$ ganger et heltall — altså alltid delelig med $k$. Dette stemmer med $k=5$ og $k=7$ over.
• Når $k$ er partall: da er ${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}={\displaystyle \frac{k}{2}}(k-1)$, og siden $k-1$ er et oddetall, gir dette leddet alltid rest ${\displaystyle \frac{k}{2}}$ ved divisjon med $k$. Summen $S$ er derfor aldri delelig med $k$. Dette stemmer med $k=6$ over.

Konklusjon: Summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$ hvis og bare hvis $k$ er et oddetall.

Kritisk vurdering. De tre elevpåstandene stemmer for de to første (5 og 7 tall), men den tredje påstanden — at det bare skjer «noen ganger» for sju tall — er feil: siden 7 er et oddetall, skjer det faktisk hver gang. Generaliseringen med $k$ viser at det ikke er tallet 5, 6 eller 7 i seg selv som avgjør delelighet, men om antallet påfølgende heltall er odde eller like.

Andre spørsmål eleven kunne stilt (like gyldige, gir samme type uttelling): «Er summen av $k$ påfølgende heltall alltid delelig med $2k$?», «Hva er sammenhengen mellom summen og gjennomsnittet av tallene?», eller «Stemmer mønsteret også for påfølgende partall/oddetall (f.eks. 2, 4, 6, …)?».