Summer av oddetall og programmering

I denne oppgaven skal du arbeide med summer av oddetall.

S_1 = 1

S_2 = 1 + 3

S_3 = 1 + 3 + 5

S_4 = 1 + 3 + 5 + 7

S_5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

S_6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

\ldots

Lag et program som summerer og skriver ut summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ … $S_{20}$

Beskriv sammenhengen du oppdager når du ser på summene som er skrevet ut. Bruk figuren nedenfor til å argumentere for at sammenhengen må være riktig.

Ruter med kuler som illustrerer summer av oddetall

Fasit

Se programmet i løsningsforslaget. Summene er $1, 4, 9, 16, 25, \ldots, 400$ .

$S_n = n^2$ — summen av de $n$ første oddetallene er alltid et kvadrattall.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker en løkke som for hvert $n$ summerer alle oddetall opp til og med det $n$ -te oddetallet ( $2n-1$ ):

for n in range(1, 21):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + (2*k - 1)
    print(f"S_{n} = {S}")

Programmet skriver ut:

S_1 = 1
S_2 = 4
S_3 = 9
S_4 = 16
S_5 = 25
S_6 = 36
S_7 = 49
S_8 = 64
S_9 = 81
S_10 = 100
S_11 = 121
S_12 = 144
S_13 = 169
S_14 = 196
S_15 = 225
S_16 = 256
S_17 = 289
S_18 = 324
S_19 = 361
S_20 = 400

Summene $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ er alle kvadrattall. Sammenhengen ser ut til å være:

S_n = n^2

Vi argumenterer for at dette stemmer ved hjelp av figuren:

Figuren viser at $S_n$ kan illustreres som et $n \times n$ kvadrat bygd opp av kuler. Hvert steg fra $S_{n-1}$ til $S_n$ legger vi til en ny rad langs bunnen og en ny kolonne langs høyre side. Disse to bidrar med $n + n = 2n$ kuler, men hjørnekula er telt to ganger, så vi trekker fra 1. Antall kuler som legges til er derfor:

2n - 1

Dette er nøyaktig det $n$ -te oddetallet. Dermed bygger vi et $n \times n$ kvadrat fra et $(n-1) \times (n-1)$ kvadrat ved å legge til et L-formet skall med $2n - 1$ kuler:

S_n = S_{n-1} + (2n-1)

Siden $S_1 = 1 = 1^2$ , og hvert steg øker kvadratsiden med 1, gir dette:

\mathbf{S_n = n^2}

Sensorveiledning

2 poeng

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig beskrivelse og 1 poeng for riktig argumentasjon ut fra figuren.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: programmering, rekker, argumentasjon
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne