Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

$\frac{130}{27}$

Løsningsforslag

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ( $s_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ ) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$ . Vet da at de tre første leddene må være:

x + x k + x k^{2} = \frac{38}{9}

Som kan faktoriseres til

x (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\frac{x}{1 - k} = 6

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

x = 6 (1 - k)

6 (1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

(1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

1 + k + k^{2} - k - k^{2} - k^{3} = \frac{19}{27}

1 - k^{3} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27} \Rightarrow k = \frac{2}{3}

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$ :

x = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \frac{1}{3} = 2

Ledd 4 må være:

x k^{3} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\frac{38}{9} + \frac{16}{27} = \frac{114}{27} + \frac{16}{27} = \frac{130}{27}

Summen av fire første ledd er

\frac{130}{27}

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

\frac{a_{1}}{1 - k} = 6

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

\frac{38}{9} = a_{1} \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1}

Vi har altså to likninger og to ukjente, $a_{1}$ og $k$ .

Vi kan løse den første likningen for $a_{1}$ og sette inn i den andre likningen

a_{1} = 6 (1 - k)

\frac{38}{9} = 6 (1 - k) \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1} = 6 \cdot \frac{(k^{3} - 1) (1 - k)}{k - 1}

Siden $(1 - k) = (- 1) \cdot (k - 1)$ så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

\frac{38}{54} = \frac{(k^{3} - 1) (- 1) (k - 1)}{(k - 1)} = (k^{3} - 1) (- 1) = 1 - k^{3}

Vi kan nå løse likningen

\begin{matrix} \frac{38}{54} & = 1 - k^{3} \\ k^{3} & = 1 - \frac{38}{54} = \frac{16}{54} = \frac{8}{27} \\ k & = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \end{matrix}

Når vi endelig har $k$ så kan vi finne $a_{1}$ med

a_{1} = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

s_{4} = a_{1} \cdot \frac{k^{4} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{(\frac{2}{3}) - 1} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{81} - 1}{\frac{2}{3} - 1} = 2 \cdot \frac{- \frac{65}{81}}{- \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}} = \frac{130}{27}

Summen av de fire første leddene er

\frac{130}{27}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2022, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Lov på eksamen

1-3

Om oppgaveteksten

Oppgavetekst

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Lov på eksamen

1-3

Om oppgaveteksten

Oppgavetekst

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Temaer