Sumformel, kvotient og geometrisk rekke

Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\cdots+399$ .

Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_1 = 12$ og sum = 18.

Vis at tallet $0{,}75757575\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}$ .

Fasit

$s_{100} = 20\,100$

$k = \dfrac{1}{3}$

$1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}$ (bevis)

Løsningsforslag

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

s_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n

Vi ser at differansen $d=4$ . For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse

3+(n-1) \cdot 4=399 \implies n-1=\frac{399-3}{4} \implies n=100

Summen av de 100 første leddene blir altså

s_{100}=\frac{3+399}{2}\cdot 100=\frac{402}{2} \cdot 100= 201\cdot 100=\underline{\underline{20\,100}}

Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er

s=\frac{a_{1}}{1-k} \iff 1-k=\frac{a_{1}}{s}\iff k=1-\frac{a_{1}}{s}

Vi setter inn verdiene i uttrykket for $k$

k=1-\frac{12}{18}=1-\frac{2}{3}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}

Vi kan omskrive tallet som sum summen av uendelig rekke med ledd på denne måten $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots$

Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker

\begin{aligned} 0{,}75&=\frac{3}{4}\\ 0{,}0075&=\frac{\frac{3}{4}}{100}=\frac{3}{400}\\ 0{,}000075&=\frac{\frac{3}{4}}{10000}=\frac{3}{40000} \end{aligned}

Vi ser et mønster hvor hvert ledd er $\frac{1}{100}$ av det forrige, altså har vi

\frac{3}{4}+\frac{3}{400}+\frac{3}{40000}+\dots=\frac{3}{4\cdot 100^0}+\frac{3}{4\cdot 100^1}+\frac{3}{4 \cdot 100^2}+ \cdots

Vi har altså vist at $0{,}75757575\dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka

\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{3}{4\cdot 100^{i-1}}=0{,}75757575\dots

Denne uendelig geometrisk rekka har $a_{1}=\frac{3}{4}$ og $k=\frac{1}{100}$ . Summen av rekka er gitt ved

s=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{99}{100}}=\frac{300}{396}=\frac{75}{99}=\frac{25}{33}

Siden vi nå vet at $0{,}75757575+\dots=\frac{25}{33}$ så kan vi vise følgende

1{,}75757575\ldots=1+0{,}75757575\ldots=1+\frac{25}{33}=\frac{58}{33}

Vi har altså vist at $1{,}75757575\ldots=\frac{58}{33}$ .

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

1 poeng for å sette opp riktig geometrisk rekke og 1 poeng for å regne ut verdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekker, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker