Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da den store matematikeren Carl Friedrich Gauss var ni år gammel, ga læreren han som oppgave å addere de naturlige tallene fra og med 1 til og med 100.

1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 50 + 51 + \dots + 97 + 98 + 99 + 100

Gauss kom fram til riktig svar etter veldig kort tid ved å bruke parvis addisjon.

Summen 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 + 51 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 der tallene er koblet sammen parvis fra hver ende. Hvert av parene 1 og 100, 2 og 99, 3 og 98, 4 og 97 og 50 og 51 gir summen 101

Dermed fikk Gauss at $50 \cdot 101 = 5050$

For hånd

Bestem summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med 1000 ved å bruke metoden til Gauss.

For hånd

Lag en formel for summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ . Kontroller om formelen stemmer for $n = 100$ .

Fasit

$500 500$

$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ , stemmer for $n = 100$ ( $S_{100} = 5050$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker samme metode som Gauss: Vi parer sammen det minste og det største tallet, det nest minste og det nest største, og så videre. Da blir summen i hvert par den samme:

1 + 1000 = 1001, 2 + 999 = 1001, 3 + 998 = 1001, \dots

Tallene fra 1 til 1000 er 1000 tall i alt, så de kan deles inn i

\frac{1000}{2} = 500 par

Hvert par gir summen $1001$ , så totalsummen blir

500 \cdot 1001 = 500 500

1 + 2 + 3 + \dots + 1000 = 500 500

Vi gjør det samme resonnementet som i a), men nå med $n$ i stedet for et bestemt tall. Tallene fra 1 til $n$ er $n$ tall i alt, og vi parer sammen det minste og det største, det nest minste og det nest største, og så videre:

1 + n, 2 + (n - 1), 3 + (n - 2), \dots

Hvert par gir samme sum, $n + 1$ . Siden det er $n$ tall totalt, blir det $\frac{n}{2}$ par, og summen blir

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (n + 1) = \frac{n (n + 1)}{2}

Kontroll for $n = 100$ :

S_{100} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10 100}{2} = 5050

Dette stemmer med svaret Gauss selv fant i oppgaveteksten, så formelen er riktig.

S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2018, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Tallfølger, Mønstre, Formler, Argumentasjon

Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer