$$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{1} \cdot \left( \int_{0}^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t \right)^{n}$$

Jeg ser at jeg kan bestemme integralet, så jeg begynner med det

$$\int_{0}^{x} e^{-t} \, dt =\left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x}=-e^{-x}-(-e^{0})=1-e^{-x}=1-\frac{1}{e^{x}}$$

Jeg ser også at rekka er geometrisk med første ledd $a_{1}$ og kvotient $k(x)=1-\frac{1}{e^{x}}$.

Geometriske rekker er konvergente dersom $-1< k<1$.

Jeg ser at

$$\lim_{ x \to \infty } \left( 1-\frac{1}{e^{x}} \right) = 1-0= 1$$

Jeg undersøker om $k(x)>-1$ ved å sette opp likningen

$$\begin{aligned} k(x)&>-1\\ 1-\frac{1}{e^{x}}&>-1\\ -\frac{1}{e^{x}}&>-2\\ \frac{1}{2}&<e^{x}\\ x&>\ln\left( \frac{1}{2} \right)\\ x&>\ln 1- \ln 2 \\ x&>-\ln 2 \end{aligned}$$

Konvergensområdet til rekka er altså $-\ln 2 < x < \infty$.

$k(x)$ er strengt voksende, så vi bør få den minste summen når $x$ nærmer seg $-\ln 2$ fra den positive siden.

Hvis vi lar $x=- \ln 2$ så får vi

$$S(x)=a_{1} \cdot e^{x} \iff 1=a_{1}\cdot e^{-\ln 2} \iff \frac{1}{a_{1}}=2^{-1}\iff a_{1}=2$$

Verdien $x = -\ln 2$ ligger utenfor konvergensområdet, så summen $S(x) = 1$ oppnås aldri. Men $S(x)$ kan komme vilkårlig nær $1$ når $x \to (-\ln 2)^+$, og summen kan aldri bli lavere enn $1$. Den minste mulige summen er derfor $1$, og $a_1 = 2$.