Stykkevis funksjon og kontinuitet

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 2 & x \leq - 2 \\ 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x & - 2 < x < k \\ 4 & x \geq k \end{matrix} der k \in ⟨ - 2, \to ⟩

For hånd

Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x = - 2$ .

For hånd

Bestem $k$ slik at $f$ er kontinuerlig når $x = k$ .

Fasit

Ikke kontinuerlig (venstregrense $= - 6$ , høyregrense $= 0$ )

$k = - 1$ , $k = - \sqrt{2}$ eller $k = \sqrt{2}$

Løsningsforslag

Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i $x = - 2$ :

\lim_{x \to - 2^{-}} (2 x - 2) = 2 (- 2) - 2 = - 6

\lim_{x \to - 2^{+}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 2 (- 8) + 2 (4) - 4 (- 2) = - 16 + 8 + 8 = 0

Siden $\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - 6 \neq 0 = \lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ eksisterer ikke grenseverdien i $x = - 2$ .

$f$ er ikke kontinuerlig i $x = - 2$ .

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = k$ må:

\lim_{x \to k^{-}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 4

2 k^{3} + 2 k^{2} - 4 k = 4

k^{3} + k^{2} - 2 k - 2 = 0

Vi faktoriserer:

k^{2} (k + 1) - 2 (k + 1) = (k^{2} - 2) (k + 1) = 0

k = \sqrt{2}, k = - \sqrt{2}, k = - 1

Alle tre verdiene er større enn $- 2$ og dermed i gyldighetsområdet $k \in ⟨ - 2, \to ⟩$ .

$k = \sqrt{2}$ , $k = - \sqrt{2}$ eller $k = - 1$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidatene kommunisere godt med et matematisk språk.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige

Innstillinger