Stykkevis funksjon med parameter k

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} -x^2 + (2+k)x\text{,} & x < k \\ x^2 + (2-k)x\text{,} \quad & x \geq k \end{cases}

der $k \in \mathbb{R}$ .

Forklar at $f$ er en kontinuerlig funksjon for alle verdier av $k$ .

Bestem $k$ slik at $f$ blir deriverbar i $x = k$ .

For hvilke verdier av $k$ har $f$ en omvendt funksjon?

Fasit

$f$ er kontinuerlig for alle $k \in \mathbb{R}$ .

$\underline{\underline{k = 0}}$

$\underline{\underline{k \in [-2,\, 2]}}$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS-utregning for oppgave 2

Hvert av uttrykkene $-x^2 + (2+k)x$ og $x^2 + (2-k)x$ er polynomer, og polynomer er kontinuerlige overalt. Det eneste stedet vi må sjekke kontinuitet spesielt er i bruddpunktet $x = k$ .

$f$ er kontinuerlig i $x = k$ hvis og bare hvis

\lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^+} f(x) = f(k)

Vi beregner grenseverdiene:

\lim_{x \to k^-} f(x) = -k^2 + (2+k)k = -k^2 + 2k + k^2 = 2k

\lim_{x \to k^+} f(x) = k^2 + (2-k)k = k^2 + 2k - k^2 = 2k

f(k) = k^2 + (2-k)k = 2k

Alle tre er lik $2k$ for alle verdier av $k$ . Dermed er $f$ kontinuerlig i $x = k$ for alle $k \in \mathbb{R}$ , og siden hvert deluttrykk er et polynom, er $f$ kontinuerlig for alle $k$ .

For at $f$ skal være deriverbar i $x = k$ må venstre- og høyrederiverte være like.

Vi deriverer hvert deluttrykk:

f_1'(x) = -2x + (2+k) \quad \Rightarrow \quad f_1'(k) = -2k + 2 + k = 2 - k

f_2'(x) = 2x + (2-k) \quad \Rightarrow \quad f_2'(k) = 2k + 2 - k = 2 + k

Vi setter venstre- og høyrederiverte like (se linje 10 i CAS-utklippet):

2 - k = 2 + k \implies -2k = 0 \implies \textbf{$\underline{\underline{k = 0}}$}

$f$ har en omvendt funksjon hvis og bare hvis $f$ er strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtagende) på hele $\mathbb{R}$ .

Strengt avtagende er ikke mulig: $f_1(x) = -x^2 + (2+k)x$ er en nedovervendt parabel med toppunkt i $x = \frac{2+k}{2}$ . For $x < k$ og $k < \frac{2+k}{2}$ (dvs. $k < 2$ ) er $f_1$ voksende i deler av $(-\infty, k)$ , og for $k \geq 2$ er toppunktet utenfor $(-\infty, k)$ , men da er $f_2$ oppovervendt og voksende på $[k, \infty)$ . En strengt avtagende $f$ er dermed ikke mulig for noe $k$ .

Strengt voksende krever to ting:

$f_1$ må være voksende på hele $(-\infty, k)$ : $f_1$ er voksende til venstre for toppunktet $x = \frac{2+k}{2}$ , så vi trenger

\frac{2+k}{2} \geq k \implies 2 + k \geq 2k \implies k \leq 2

$f_2$ må være voksende på hele $[k, \infty)$ : $f_2$ er en oppovervendt parabel med bunnpunkt i $x = \frac{k-2}{2}$ , og er voksende til høyre for bunnpunktet, så vi trenger

\frac{k-2}{2} \leq k \implies k - 2 \leq 2k \implies k \geq -2

Kontinuiteten i $x=k$ er allerede sikret (vist i a), så det er tilstrekkelig at begge delene er voksende.

$f$ har omvendt funksjon for $\underline{\underline{k \in [-2,\, 2]}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten argumentere ut fra grenseverdier. Bruk av glider og grafisk argumentasjon, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Bruk av glider og grafisk argumentasjon, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som argumenterer grafisk på en god måte, kan få full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: kontinuitet, derivasjon, delt forskrift, funksjoner, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner