Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.

Info

Støtte til husholdningene

Husholdninger

Ansvar: Energidepartementet.

Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.

Strømstønad til husholdningene

Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger $75$ øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke $90$ prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil $5\,000$ kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.

I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under $5000$ kWh per måned per målepunkt.

La $f(x)$ beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der $x$ er spotprisen i øre/kWh.

Forklar hvorfor funksjonen $f$ har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.

Sett opp et funksjonsuttrykk for $f(x)$ .

Fasit

$f$ har delt forskrift fordi stønadsregelen endrer seg ved $x = 75$ . Kontinuitet kreves fordi prisen ikke kan hoppe ved terskelen.

$\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \le x \le 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{for } x > 75 \end{cases}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f$ har delt forskrift fordi strømstønadsordningen fungerer ulikt avhengig av om spotprisen $x$ er under eller over terskelen på $75$ øre/kWh:

Når $x \le 75$ : Husholdningen mottar ingen stønad og betaler spotprisen direkte, altså $f(x) = x$ .
Når $x > 75$ : Strømstønaden dekker $90\,\%$ av prisen over $75$ øre/kWh. Husholdningen betaler da $75$ øre pluss de resterende $10\,\%$ av det overskytende beløpet.

De to reglene gjelder for hvert sitt intervall, noe som gir en stykkevis definert funksjon.

Funksjonen må være kontinuerlig fordi strømprisen er en fysisk størrelse som ikke kan hoppe plutselig. Dersom $f$ hadde et sprang ved $x = 75$ , ville en marginal økning i spotprisen over $75$ øre/kWh føre til at husholdningen plutselig betalte vesentlig mer eller mindre – det gir ikke mening for en prismodell. Vi kan verifisere kontinuitet ved å sjekke at begge regler gir samme verdi i $x = 75$ :

\lim_{x \to 75^-} f(x) = 75 \qquad \text{og} \qquad \lim_{x \to 75^+} f(x) = 0{,}1 \cdot 75 + 67{,}5 = 7{,}5 + 67{,}5 = 75 \checkmark

Når $x \le 75$ betaler husholdningen spotprisen direkte:

f(x) = x

Når $x > 75$ dekker stønaden $90\,\%$ av prisen over $75$ øre/kWh. Prisen husholdningen betaler blir da:

f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75) = x - 0{,}9x + 67{,}5 = 0{,}1x + 67{,}5

Samlet gir dette funksjonsuttrykket:

\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \le x \le 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{for } x > 75 \end{cases}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: funksjoner, modellering, argumentasjon
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner