Strømstønad som delt funksjon S1 V26

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.

Støtte til husholdningene

Husholdninger — Ansvar: Energidepartementet.

Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.

Strømstønad til husholdningene

Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger 75 øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke 90 prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil 5 000 kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.

I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under 5000 kWh per måned per målepunkt.

La $f(x)$ beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der $x$ er spotprisen i øre/kWh.

Forklar hvorfor funksjonen $f$ har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.

Sett opp et funksjonsuttrykk for $f(x)$ .

Fasit

Delt forskrift fordi ulike regler gjelder for $x \leq 75$ og $x > 75$ . Kontinuerlig fordi det ikke er noe hopp i prisen ved $x = 75$ .

f(x) = \begin{cases} x & \text{når } 0 \leq x \leq 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{når } x > 75 \end{cases}

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f$ beskriver hva husholdningen faktisk betaler per kWh, etter at strømstønaden er trukket fra.

Ifølge ordningen er det én regel for spotpris opp til og med 75 øre/kWh, og en annen regel for spotpris over 75 øre/kWh. Siden to ulike regler gjelder i to ulike intervaller, må funksjonen ha delt forskrift.

Funksjonen må være kontinuerlig fordi strømprisen ikke kan «hoppe» i terskelpunktet $x = 75$ . Hvis prisen plutselig endret seg i det spotprisen passerte 75 øre/kWh, ville det gi absurde situasjoner — for eksempel at du plutselig ville betale mer enn spotprisen dersom stønaden slo inn. Fysisk og praktisk sett må prisen husholdningen betaler, variere jevnt. Matematisk betyr det at begge forskriftene må gi samme verdi ved $x = 75$ :

f(75) = 75 \quad \text{(fra begge sider)} \checkmark

For $0 \leq x \leq 75$ : Spotprisen er under eller lik terskelen, og det gis ingen stønad. Husholdningen betaler hele spotprisen:

f(x) = x

For $x > 75$ : Spotprisen overstiger 75 øre/kWh. Stønaden dekker 90 % av det som overstiger 75, altså $0{,}9 \cdot (x - 75)$ . Husholdningen betaler:

f(x) = x - 0{,}9(x - 75)

Vi forenkler:

\begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9x + 0{,}9 \cdot 75 \\ &= 0{,}1x + 67{,}5 \end{aligned}

Vi kan verifisere kontinuitet i $x = 75$ :

f(75) = 0{,}1 \cdot 75 + 67{,}5 = 7{,}5 + 67{,}5 = 75 \checkmark

Samlet funksjonsuttrykk:

\textbf{f(x)} = \begin{cases} x & \text{når } 0 \leq x \leq 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{når } x > 75 \end{cases}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: delte funksjoner, kontinuitet, modellering
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk