Størst mulig rektangel under kurve

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0

Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ , og punktet $D$ ligger på $y$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Rektangel under kurven

Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$ .

Hvor på $x$ -aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $ABCD$ skal bli størst mulig?

Fasit

$5/2$

$x = \sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

f(3) = \frac{10}{9+3} = \frac{5}{6}, \quad A = 3 \cdot \frac{5}{6} = \underline{\underline{\frac{5}{2}}}

Arealet er $A(x) = x \cdot f(x) = \dfrac{10x}{x^2 + 3}$ .

A'(x) = \frac{30 - 10x^2}{(x^2+3)^2} = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}

Siden $A'(x) > 0$ for $x < \sqrt{3}$ og $A'(x) < 0$ for $x > \sqrt{3}$ , er $x = \sqrt{3}$ et maksimumspunkt.

$B$ må ligge i $\underline{\underline{x = \sqrt{3}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten bestemme ekstremalpunktet grafisk eller ved regning. En «prøve og feile»-metode, for eksempel med en glider, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: derivasjon, funksjoner, geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar