Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen til en funksjon forteller hvor «bratt» grafen er i dette punktet. Denne størrelsen har vi ofte nytte av i praksis. I denne oppgaven skal vi bruke forskjellige metoder for å bestemme stigningstall.

For hånd

Funksjonen $g$ er gitt ved $g (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 5 x + 8$ . Deriver funksjonen og bestem $g^{'} (4)$ .

Grafen til funksjonen $h$ er tegnet nedenfor:

Grafen til h(x)

For hånd

Tegn fortegnslinja til $h^{'} (x)$ .

Tegn grafen til $h^{'}$ på svararket ditt. Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne en tilnærmingsverdi for $h^{'} (1)$ .

Sammenhengen mellom kostnaden $K (x)$ i kroner ved produksjon av en vare og antall produserte enheter $x$ er gitt i tabellen nedenfor.

$x$	0	100	300	500	700
$K (x)$	30 000	83 000	207 000	355 000	527 000

Krever PC

Bruk regresjon til å skrive $K (x)$ på formen $K (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Finn $K^{'} (300)$ . Forklar hva dette svaret forteller oss.

Varene selges for 710 kroner per enhet.

For hånd

Vis at overskuddet i kroner er gitt ved uttrykket $O (x) = - 0,3 x^{2} + 210 x - 30 000$ .

Kalkulator

Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd.

Fasit

$g^{'} (x) = 6 x^{2} - 24 x - 5, g^{'} (4) = - 5$

$h^{'}$ er positiv for $x < - 1$ og $x > 1,5$ , negativ for $- 1 < x < 1,5$ . Avlest: $h^{'} (1) \approx - 1,5$

$K (x) = 0,3 x^{2} + 500 x + 30 000$

$K^{'} (300) = 680 k r / e n h e t$

Vist i løsningsforslaget

$x = 350 enheter, O (350) = 6750 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $g (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 5 x + 8$ ledd for ledd ved hjelp av potensregelen $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$ :

g^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 12 \cdot 2 x - 5 = 6 x^{2} - 24 x - 5

Vi setter inn $x = 4$ :

g^{'} (4) = 6 \cdot 4^{2} - 24 \cdot 4 - 5 = 96 - 96 - 5 = - 5

1) Fortegnslinje til $h^{'} (x)$

Fra grafen til $h$ leser vi av at $h$ har et toppunkt ved $x \approx - 1$ (grafen slutter å vokse og begynner å avta der) og et bunnpunkt ved $x \approx 1,5$ (grafen slutter å avta og begynner å vokse der). I disse punktene er $h^{'} (x) = 0$ .

Fortegnslinje for h'(x) med sjablongkurve for h(x)

2) Grafen til $h^{'}$ og avlesning av $h^{'} (1)$

$h^{'} (x)$ er positiv der $h$ vokser, negativ der $h$ avtar, og null i topp- og bunnpunktene. Det gir en graf som synker fra positive verdier, krysser $x$ -aksen ved $x \approx - 1$ , har et bunnpunkt ett sted mellom $- 1$ og $1,5$ , og krysser $x$ -aksen igjen ved $x \approx 1,5$ før den vokser videre.

For å finne $h^{'} (1)$ tegner vi tangenten til $h$ i punktet $(1, 0)$ og leser av stigningstallet til denne tangenten direkte på svararket. Tangenten går for eksempel gjennom omtrent $(0, 1,5)$ og $(2, - 1,5)$ , som gir

h^{'} (1) \approx \frac{- 1,5 - 1,5}{2 - 0} = - 1,5

Andre avlesninger i intervallet $- 1$ til $- 2$ skal også godkjennes, siden dette er en avlesning fra en håndtegnet graf.

En funksjon som er konsistent med den oppgitte grafen, tegnet i GeoGebra: h (blå), h' (rød) og tangenten i x=1 (grønn)

Vi legger de fem tabellpunktene inn i GeoGebra CAS og bruker andregradsregresjon (FitPoly med grad 2):

FitPoly ({(0, 30000), (100, 83000), (300, 207000), (500, 355000), (700, 527000)}, 2)

CAS-utregning: regresjon, derivasjon av K og forenkling av O(x)

Dette gir

K (x) = 0,3 x^{2} + 500 x + 30 000

Alle fem tabellpunktene ligger nøyaktig på denne kurven, se punktene og kurven i figuren under.

Datapunktene fra tabellen (rødt) sammen med regresjonskurven K(x) (blått) og tangenten i x=300 (grønt)

Vi deriverer $K (x)$ :

K^{'} (x) = 0,6 x + 500

K^{'} (300) = 0,6 \cdot 300 + 500 = 180 + 500 = 680

$K^{'} (300) = 680$ forteller oss at når produksjonen allerede er $300$ enheter, vil kostnaden med å produsere én enhet til (den $301.$ enheten) øke med omtrent $680 kr$ . Dette er grensekostnaden ved $x = 300$ .

Inntekten ved å selge $x$ enheter til $710$ kroner per enhet er $I (x) = 710 x$ . Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 710 x - (0,3 x^{2} + 500 x + 30 000)

O (x) = - 0,3 x^{2} + (710 - 500) x - 30 000

O (x) = - 0,3 x^{2} + 210 x - 30 000

som var det vi skulle vise.

Vi deriverer $O (x)$ og setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunktet:

O^{'} (x) = - 0,6 x + 210

- 0,6 x + 210 = 0 \Rightarrow x = \frac{210}{0,6} = 350

Siden koeffisienten foran $x^{2}$ i $O (x)$ er negativ, er dette et toppunkt (maksimum), se Maks i figuren under. Vi finner overskuddet ved $x = 350$ :

O (350) = - 0,3 \cdot 350^{2} + 210 \cdot 350 - 30 000 = - 36 750 + 73 500 - 30 000 = 6750

Grafen til overskuddsfunksjonen O(x) med maksimumspunktet markert

En produksjon på $x = 350 enheter$ gir størst overskudd, og dette overskuddet er $O (350) = 6750 kr$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2007-1, del 2, oppgave 4-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering

Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer