Sparing og pensjon med annuitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kristin bestemmer seg for å spare penger til hun blir pensjonist. Hun ønsker å ha 2 millioner kroner på konto den dagen hun fyller 60 år. For å oppnå dette vil hun sette inn et fast årlig beløp, første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Hun regner med en årlig rente på 5 % i hele perioden.

Vis at hun må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.

Den dagen Kristin fyller 60 år, vil hun ta ut 200 000 kroner. Det samme vil hun gjøre på hver av de fire neste fødselsdagene.

Hvor stort beløp har Kristin på kontoen den dagen hun fyller 65 år?

Fasit

Ca. 21 000 kr per år

Ca. 1 392 181 kr

LøsningsforslagKI-generert

Kristin setter inn beløpet $x$ første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Det er altså 35 innskudd totalt.

Innskuddet som settes inn ved alder $a$ , vokser frem til hun fyller 60 år, dvs. i $(60 - a)$ år. Vi får:

Alder	Vekst	Verdi ved 60 år
25	35 år	$x \cdot 1{,}05^{35}$
26	34 år	$x \cdot 1{,}05^{34}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
59	1 år	$x \cdot 1{,}05^{1}$

Den totale summen ved 60 år er en geometrisk rekke:

S = x \cdot 1{,}05 + x \cdot 1{,}05^2 + \cdots + x \cdot 1{,}05^{35} = x \cdot \frac{1{,}05 \cdot (1{,}05^{35} - 1)}{1{,}05 - 1}

Vi setter $S = 2\,000\,000$ og løser for $x$ :

x = \frac{2\,000\,000 \cdot 0{,}05}{1{,}05 \cdot (1{,}05^{35} - 1)} = \frac{2\,000\,000}{94{,}836} \approx 21\,089 \approx 21\,000 \text{ kr}

Kristin må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.

Den dagen Kristin fyller 60 år har hun 2 000 000 kr. Hun tar ut 200 000 kr på hver av fødselsdagene 60, 61, 62, 63 og 64 (5 uttak). Rentesatsen er fortsatt 5 %.

Beløpet som er igjen etter hvert uttak vokser med rente frem til hun fyller 65 år. Vi beregner hva hvert uttak «koster» i fremtidig verdi:

Uttak ved alder	Vekst til 65 år	Fremtidig verdi
60	5 år	$200\,000 \cdot 1{,}05^5$
61	4 år	$200\,000 \cdot 1{,}05^4$
62	3 år	$200\,000 \cdot 1{,}05^3$
63	2 år	$200\,000 \cdot 1{,}05^2$
64	1 år	$200\,000 \cdot 1{,}05^1$

Saldoen ved 65 år er:

S_{65} = 2\,000\,000 \cdot 1{,}05^5 - 200\,000 \cdot (1{,}05 + 1{,}05^2 + 1{,}05^3 + 1{,}05^4 + 1{,}05^5)

Den geometriske rekken summeres:

200\,000 \cdot \frac{1{,}05 \cdot (1{,}05^5 - 1)}{0{,}05} = 200\,000 \cdot 5{,}802 = 1\,160\,380

S_{65} = 2\,000\,000 \cdot 1{,}27628 - 1\,160\,380 = 2\,552\,563 - 1\,160\,380 \approx 1\,392\,181 \text{ kr}

Kristin har omtrent 1 392 181 kroner på kontoen den dagen hun fyller 65 år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Annuitetslån, Sparing, Rente, Rekker

Sparing og pensjon med annuitet

Sync på tvers av enheter

Sparing og pensjon med annuitet

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave