Vi tegner grafen til $g(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$ sammen med linjen $f(x)=ax+4$ for noen ulike verdier av $a$. Alle linjene går gjennom punktet $(0,4)$, siden konstantleddet er $4$ uavhengig av $a$, men stigningstallet $a$ avgjør hvor mange ganger linjen skjærer hyperbelen $g$.

• Den røde linjen ($a=-3$) skjærer aldri grafen til $g$ — ingen løsning.
• Den grønne linjen ($a=-2$) tangerer grafen til $g$ i akkurat ett punkt — én løsning.
• Den blå linjen ($a=1$) skjærer grafen til $g$ i to punkter — to løsninger.

Figuren viser dermed at antall løsninger av $f(x)=g(x)$ avhenger av $a$: det kan være ingen, én eller to løsninger.

Vi setter de to funksjonsuttrykkene like hverandre:

Vi ganger begge sider med $x$ (lovlig siden $x\ne 0$):

Tilfellet $a=0$. Da er likningen ikke lenger av andre grad. Den blir

som gir nøyaktig én løsning. (Grafisk: linjen $f(x)=4$ er horisontal og skjærer hver av de to grenene til hyperbelen bare én gang.)

Tilfellet $a\ne 0$. Da er $a{x}^2+4x-2=0$ en ekte andregradslikning, og antall løsninger bestemmes av diskriminanten

Vi løser $d=0$ for å finne grensetilfellet:

Siden $d=16+8a$ er en økende funksjon av $a$, gir dette:

• $d<0$ (ingen løsning) når $a<-2$
• $d=0$ (én løsning) når $a=-2$
• $d>0$ (to løsninger) når $a>-2$ og $a\ne 0$

Vi merker oss at $x=0$ aldri kan være en løsning av $a{x}^2+4x-2=0$ (innsetting gir $-2=0$, som er falskt), så kravet $x\ne 0$ utelukker ingen av løsningene ovenfor.

Kontroll med CAS. Vi løser likningen $a{x}^2+4x-2=0$ med hensyn på $x$, med $a$ som parameter:

Uttrykket $\sqrt{a+2}$ krever $a+2\ge 0$, altså $a\ge -2$, for at vi skal få reelle løsninger — i samsvar med diskriminant-analysen over. Dette bekrefter resultatet.

Vi samler resultatene:

• Ingen løsning: $\underline{\underline{a<-2}}$
• Én løsning: $\underline{\underline{a=-2\text{ eller }a=0}}$
• To løsninger: $\underline{\underline{a>-2\text{ og }a\ne 0}}$