Skiskyting og binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I skiskyting skytes det på blink fra stående og liggende stilling. Jonas er skiskytter.

Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra stående stilling, er 84 prosent.
Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra liggende stilling, er 90 prosent.

Vi antar i denne oppgaven at sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd, ikke påvirker sannsynligheten for at han treffer blink på det neste skuddet.

I en konkurranse skal han først skyte 10 skudd fra liggende stilling og deretter 10 skudd fra stående stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst $19$ av de $20$ skuddene.

Fasit

$P (L \geq 8) \approx 0,9298$

$P (L = 9) \cdot P (S = 8) \approx 0,1106$

$P (minst 19 av 20) \approx 0,2449$

LøsningsforslagKI-generert

La $L$ være antall treff av $10$ skudd fra liggende stilling, og $S$ være antall treff av $10$ skudd fra stående stilling. Siden hvert skudd er uavhengig av de andre og treffsannsynligheten er den samme for alle skudd i samme stilling, er $L$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,90$ , og $S$ er binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,84$ . $L$ og $S$ er uavhengige av hverandre.

Vi skal finne $P (L \geq 8) = P (L = 8) + P (L = 9) + P (L = 10))$ , der

P (L = k) = (\binom{10}{k}) \cdot {0,90}^{k} \cdot {0,10}^{10 - k}

Vi setter opp uttrykket i GeoGebra CAS og summerer for $k = 8, 9, 10$ , se PLminst8 i utklippet under.

Skiskyting og binomisk fordeling CAS

P (L \geq 8) \approx 0,9298

Vi skal finne sannsynligheten for at $L = 9$ og $S = 8$ . Siden $L$ og $S$ er uavhengige, er

P (L = 9 \cap S = 8) = P (L = 9) \cdot P (S = 8)

der

P (L = 9) = (\binom{10}{9}) \cdot {0,90}^{9} \cdot {0,10}^{1} P (S = 8) = (\binom{10}{8}) \cdot {0,84}^{8} \cdot {0,16}^{2}

Se PL9ogS8 i utklippet over.

P (L = 9) \cdot P (S = 8) \approx 0,3874 \cdot 0,2856 \approx 0,1106

Vi skal finne sannsynligheten for minst $19$ treff av totalt $20$ skudd ( $10$ liggende og $10$ stående). Dette skjer på tre disjunkte måter:

$L = 10$ og $S = 10$ (alle $20$ treff)
$L = 10$ og $S = 9$ (bommer ett stående skudd)
$L = 9$ og $S = 10$ (bommer ett liggende skudd)

Siden $L$ og $S$ er uavhengige, blir sannsynligheten for hver kombinasjon produktet av enkeltsannsynlighetene, og siden hendelsene er disjunkte kan vi summere dem:

P (minst 19 av 20) = P (L = 10) \cdot P (S = 10) + P (L = 10) \cdot P (S = 9) + P (L = 9) \cdot P (S = 10)

Se PLminst19av20 i utklippet over.

P (minst 19 av 20) \approx 0,2449

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2019, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Skiskyting og binomisk fordeling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Skiskyting og binomisk fordeling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Skiskyting og binomisk fordeling

Skiskyting og binomisk fordeling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer