Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser en sirkelsektor $O B C$ der $C$ ligger i første kvadrant. Buen $\hat{B C}$ er en del av sirkelen med likning $x^{2} + y^{2} = 9$ . Punktet $A$ har koordinatene $(2, 0)$ og $∠ O A C = 90 °$ .

Sirkelsektor OBC med flatestykker F1 og F2

For hånd

Vis at koordinatene til $C$ er $(2, \sqrt{5})$ . Bestem likningen for den rette linjen gjennom $O$ og $C$ .

Kalkulator

Når flatestykket $F_{1}$ ( $△ O A C$ ) dreies $360 °$ om $x$ -aksen, får vi en kjegle. Bestem volumet av denne kjeglen ved hjelp av integralregning.

Kalkulator

Når flatestykket $F_{2}$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, får vi et kulesegment. Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralregning.

Fasit

$C = (2, \sqrt{5})$ , linje: $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$

$V_{1} = \frac{10}{3} π \approx 10,47$

$V_{2} = \frac{8}{3} π \approx 8,38$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $A = (2, 0)$ ligger på $x$ -aksen, så vektoren $\vec{A O}$ er parallell med $x$ -aksen. Siden $∠ O A C = 90 °$ , må $\vec{A C}$ stå vinkelrett på $x$ -aksen. Det betyr at $C$ har samme $x$ -koordinat som $A$ , altså $x_{C} = 2$ .

$C$ ligger på sirkelen $x^{2} + y^{2} = 9$ , så vi setter inn $x = 2$ :

2^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y^{2} = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}

Siden $C$ ligger i første kvadrant, er $y_{C} = \sqrt{5} > 0$ . Dermed er

C = (2, \sqrt{5})

Linjen gjennom $O = (0,0)$ og $C = (2, \sqrt{5})$ har stigningstall

a = \frac{\sqrt{5} - 0}{2 - 0} = \frac{\sqrt{5}}{2}

Siden linjen går gjennom origo, blir likningen

y = \frac{\sqrt{5}}{2} x

Flatestykket $F_{1}$ er trekanten $O A C$ med $O = (0,0)$ , $A = (2,0)$ og $C = (2, \sqrt{5})$ . Når denne dreies $360 °$ om $x$ -aksen, dannes en kjegle der randen ovenfra er linjestykket $O C$ med likning $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$ for $x \in [0, 2]$ .

Volumet finner vi ved omdreiningsformelen:

V_{1} = π \int_{0}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{2} x)}^{2} d x = π \int_{0}^{2} \frac{5}{4} x^{2} d x

Beregnet i GeoGebra CAS (se V1 i utklippet):

CAS-utregning C, V1 og V2

V_{1} = π {[\frac{5}{12} x^{3}]}_{0}^{2} = \frac{10}{3} π \approx 10,47

Dette stemmer med kjegleformelen $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ med $r = \sqrt{5}$ og $h = 2$ : $V = \frac{1}{3} π \cdot 5 \cdot 2 = \frac{10}{3} π$ .

V_{1} = \frac{10}{3} π \approx 10,47

Flatestykket $F_{2}$ er resten av sirkelsektoren $O B C$ når trekanten $F_{1}$ er trukket fra — altså området avgrenset av linjestykket $A C$ ( $x = 2$ ), buen $\hat{B C}$ og linjestykket $A B$ på $x$ -aksen, der $B = (3, 0)$ . Når $F_{2}$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, dannes et kulesegment (kulekalott) mellom $x = 2$ og $x = 3$ .

Randen ovenfra er sirkelbuen $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ , så volumet blir

V_{2} = π \int_{2}^{3} {(\sqrt{9 - x^{2}})}^{2} d x = π \int_{2}^{3} (9 - x^{2}) d x

Beregnet i GeoGebra CAS (se V2 i utklippet over):

V_{2} = π {[9 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{2}^{3} = \frac{8}{3} π \approx 8,38

Dette stemmer med formelen for volumet av en kulekalott $V = \frac{π h^{2}}{3} (3 r - h)$ med $r = 3$ og høyde $h = 1$ : $V = \frac{π \cdot 1}{3} (9 - 1) = \frac{8}{3} π$ .

V_{2} = \frac{8}{3} π \approx 8,38

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

I en fullgod løsning må stigningstallet gis eksakt.

og c) Ved digital løsning må integralene for omdreiningslegemene settes opp.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon, Vektorer

Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer