Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Del 2 · oppgave 2
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Trekant ABD med diagonal AC, der vinkel A er 45 grader, vinkel D er 60 grader, vinkel ACB er 105 grader, AC er rot 2 og CB er 1

Gitt figuren ovenfor.

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten ABAB.

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten ABDABD.

Fasit

AB=2+3≈1,93‾‾\underline{\underline{AB = \sqrt{2+\sqrt{3}} \approx 1{,}93}}

TABD=53+912≈1,47‾‾\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}

LøsningsforslagKI-generert

I trekant ABCABC kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

  • AC=2AC = \sqrt{2}
  • CB=1CB = 1
  • ∠ACB=105°\angle ACB = 105°

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne ABAB:

AB2=AC2+CB2−2⋅AC⋅CB⋅cos⁡(∠ACB)AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB) AB2=(2)2+12−2⋅2⋅1⋅cos⁡105°AB^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos 105° AB2=2+1−22cos⁡105°AB^2 = 2 + 1 - 2\sqrt{2}\cos 105°

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får AB2≈3,732AB^2 \approx 3{,}732, så

AB=2+3≈1,93AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx 1{,}93

(Den eksakte verdien 2+32+\sqrt{3} kommer fra cos⁡105°=−6−24\cos 105° = -\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, som gir AB2=3+2(6−2)2=3+12−22=2+3AB^2 = 3 + \tfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = 3 + \tfrac{\sqrt{12}-2}{2} = 2 + \sqrt{3}.)

AB≈1,93‾‾\underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}

Vi deler trekant ABDABD i de to deltrekanene ABCABC og ACDACD, og beregner arealet av hver.

Areal av trekant ABCABC:

TABC=12⋅AC⋅CB⋅sin⁡(∠ACB)=12⋅2⋅1⋅sin⁡105°=22⋅6+24=12+28=23+28=3+14T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12}+2}{8} = \frac{2\sqrt{3}+2}{8} = \frac{\sqrt{3}+1}{4}

Finn CDCD ved sinussetningen i trekant ACDACD:

Siden ∠ACB=105°\angle ACB = 105° er ∠ACD=180°−105°=75°\angle ACD = 180° - 105° = 75° (supplementvinkler). I trekant ACDACD er ∠D=60°\angle D = 60°, ∠ACD=75°\angle ACD = 75°, og dermed ∠CAD=180°−60°−75°=45°\angle CAD = 180° - 60° - 75° = 45°.

Sinussetningen i trekant ACDACD gir

CDsin⁡(∠CAD)=ACsin⁡(∠D)  ⟹  CD=2⋅sin⁡45°sin⁡60°=2⋅2232=2⋅23=23=233\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle D)} \implies CD = \sqrt{2} \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 60°} = \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

Areal av trekant ACDACD:

TACD=12⋅AC⋅CD⋅sin⁡(∠ACD)=12⋅2⋅233⋅sin⁡75°T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sin 75°

Vi bruker sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=6+24\sin 75° = \sin(45°+30°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}:

TACD=63⋅6+24=6+1212=6+2312=3+36T_{ACD} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{6+\sqrt{12}}{12} = \frac{6+2\sqrt{3}}{12} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}

Totalt areal:

TABD=TABC+TACD=3+14+3+36T_{ABD} = T_{ABC} + T_{ACD} = \frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{3+\sqrt{3}}{6}

Felles nevner 12:

TABD=3(3+1)12+2(3+3)12=33+3+6+2312=53+912T_{ABD} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{12} + \frac{2(3+\sqrt{3})}{12} = \frac{3\sqrt{3}+3+6+2\sqrt{3}}{12} = \frac{5\sqrt{3}+9}{12}

TABD=53+912≈1,47‾‾\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}

Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
5
Temaer
trigonometri, geometri
Kompetansemål
  • Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
  • Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal