Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad

Ane har en vanlig sekssidet terning. Hun ønsker å finne ut hvor mange ganger hun i gjennomsnitt må kaste terningen for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.

Hun har laget tabellen nedenfor.

Tabell 1: Sannsynlighet for at et kast er nødvendig

Kast nummer	1	2	3	4	5	6	…
Sannsynlighet for at kastet er nødvendig	1	1	$\frac{5}{6}$	${(\frac{5}{6})}^{2}$	${(\frac{5}{6})}^{3}$	${(\frac{5}{6})}^{4}$	⋯

For hånd

Forklar at

1 + 1 + \frac{5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2} + {(\frac{5}{6})}^{3} + \dots

vil gi det forventede antallet kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad. Bestem denne verdien.

Krever PC

Bruk simulering til å bestemme forventningsverdien til summen av antall øyne Ane vil få på terningen i kastene hun bruker for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.

Fasit

–

24,5

Løsningsforslag

I denne oppgaven er jeg veldig usikker på hva som kreves for å forklare at uttrykket i oppgaveteksten er det samme som forventningsverdien. Jeg tror ikke det er meningen at elever skal gjøre det samme som jeg har gjort her – men jeg klarer ikke helt å se en enklere måte å argumentere for at forventningsverdien er eksakt lik summen av «antall kast nødvendig».

Valgtre til oppgave 6 del 2

Vi lar $X$ være antall kast som trengs før vi har fått 2 like terningkast på rad. Sannsynligheten for å at et terningkast har samme antall øyne som det forrige er $1 / 6$ , og sannsynligheten for at antall øyne er ulikt er $5 / 6$ . Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet og sette opp følgende sannsynlighetsfordeling for $X$ :

$x_{i}$	$P (x_{i})$
$1$	$0$
$2$	$\frac{1}{6}$
$3$	$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}$
$4$	${(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6}$
$5$	${(\frac{5}{6})}^{3} \cdot \frac{1}{6}$

Forventningsverdien til $X$ vil da være

\begin{matrix} E (X) & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (x_{i}) \\ = 1 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} \cdot \frac{1}{6} + \dots \\ = \frac{1}{6} (\underset{S}{\underset{⏟}{2 {(\frac{5}{6})}^{0} + 3 {(\frac{5}{6})}^{1} + 4 {(\frac{5}{6})}^{2} + 5 {(\frac{5}{6})}^{3} + \dots}}) \end{matrix}

Vi kaller alt inni parentesen for $S$ , og omskriver heltallene som står foran $\frac{5}{6}$ som en sum av enere:

\begin{matrix} S = \underset{2}{\underset{⏟}{(1 + 1)}} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0} + \underset{3}{\underset{⏟}{(1 + 1 + 1)}} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} \underset{4}{\underset{⏟}{(1 + 1 + 1 + 1)}} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + \dots \end{matrix}

Vi deler nå opp denne summen i en rekke delsummer slik at $S = \lim_{n \to \infty} S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ hvor

\begin{matrix} S_{1} & = 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{0} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \\ S_{2} & = 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{0} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \\ S_{3} & = 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} + \dots \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = 5 \\ S_{4} & = 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{4} + \dots = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} \\ S_{5} & = 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{4} + 1 \cdot {(\frac{5}{6})}^{5} + \dots = \frac{{(\frac{5}{6})}^{3}}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{{(\frac{5}{6})}^{3}}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} \end{matrix}

Forventningsverdien er altså

\begin{matrix} E (X) & = \frac{1}{6} S \\ = \frac{1}{6} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + S_{5} + \dots) \\ = \frac{1}{6} (6 + 6 + 5 + 6 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} + 6 \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} + \dots) \\ = 1 + 1 + \frac{5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2} + {(\frac{5}{6})}^{3} + \dots & ■ \end{matrix}

Hvis vi ser bort fra det aller første leddet ( $1$ ), så er dette en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og $k = \frac{5}{6}$

s = 1 + \frac{5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2} + \dots

Vi kan finne summen av rekka $s$ med GeoGebra, eller med formelen for sum av uendelig geometrisk rekke:

s = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = \frac{1 \cdot 6}{\frac{1}{6} \cdot 6} = 6

Til sammen blir altså $E (X) = 1 + s = 1 + 6 = 7$ .

Verdien av rekka er 7.

Vi skal simulere forventningsverdien til summen av antall øyne på alle terningene som kastes i jakten på å få to like kast på rad.

from random import randint
N = 100_000                        
sum_øyne = 0                        # totalt antall øyne på terningene

for i in range(N):
    t1 = randint(1,6)               # terningkast 1
    t2 = randint(1,6)               # terningkast 2

    sum_øyne = sum_øyne + t1 + t2   # legger til resultatene til summen
    while t1 != t2:
        t1 = t2                     # flytter t2's verdi til t1
        t2 = randint(1,6)           # ruller t2 på nytt
        sum_øyne = sum_øyne + t2    # legger til nytt resultat til summen

EX = sum_øyne/N                     # forventningsverdi = snitt i det lange løp
print(f"Jeg estimerer forventningsverdien til å være {EX:.3f} etter {N} simuleringer.")

Output: Jeg estimerer forventningsverdien til å være 24.502 etter 100000 simuleringer.

Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser det ut til estimatet mitt er stabilt på rundt $24,5$ . Det stemmer også godt med at forventningsverdien for en terning er $3,5$ og vi trenger i snitt $7$ kast før vi har fått to like på rad.

Jeg estimerer forventningsverdien til summen av antall øyne før Ane får to like terninger på rad til å være 24,5.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å forklare rekken og 1 poeng for å regne ut verdien.

Simulering med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Simulering med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng. Analytisk løsning med god argumentasjon kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2025, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Simulering, Sannsynlighet, Programmering, Uendelig rekke, Forventningsverdi
Kompetansemål: Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad

Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer