Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sierpiński-trekanten, som har sitt navn etter den polske matematikeren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lages slik:

Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal $A$ . Se figur 1.
Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørnene i en ny hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2.
Vi gjentar denne prosessen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3–5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, kalles Sierpiński-trekanten.

Sierpiński-trekanten, figur 1–5

Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken

A \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256} + \dots)

For hånd

Bestem summen av rekken ovenfor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekanten?

For hånd

Sidene i trekanten i figur 1 er lik $a$ .

Forklar at omkretsen av de svarte trekantene i figurene 2–5 ovenfor er henholdsvis

3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a, 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a, 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a og 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a

For hånd

Vi gjør prosessen som forklart i trinn 2 ovenfor $n$ ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene da er lik $3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot a$ .

Forklar at $3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot a \to \infty$ når $n \to \infty$ .

Hva forteller dette om omkretsen til Sierpiński-trekanten?

Fasit

$s = A$ — hele arealet $A$ blir til slutt fjernet, så arealet av Sierpiński-trekanten går mot $0$ .

Se forklaring.

Se forklaring. Omkretsen $\to \infty$ når $n \to \infty$ .

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $A \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256} + \dots)$ er en geometrisk rekke med startledd

a_{1} = \frac{1}{4}

Kvotienten finner vi ved å dele et ledd på det foregående, for eksempel

k = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4}

Siden $| k | = \frac{3}{4} < 1$ , konvergerer rekken, og summen er

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 1

CAS-utregning av summen

Summen av arealene som fjernes, er dermed

A \cdot s = A \cdot 1 = A

Dette betyr at når prosessen gjentas uendelig mange ganger, blir det til sammen fjernet like mye areal som hele den opprinnelige trekanten hadde. Arealet som blir igjen (Sierpiński-trekanten selv) går derfor mot $0$ .

$s = A$ : Arealet av Sierpiński-trekanten går mot $0$ .

I hvert trinn av prosessen halveres sidelengden i de svarte trekantene, siden den nye, hvite trekanten har hjørner i midtpunktene på sidene til den svarte trekanten den fjernes fra. Samtidig blir hver svart trekant erstattet av tre nye, mindre svarte trekanter.

Antall svarte trekanter og sidelengden i figurene blir da:

Figur	Antall trekanter	Sidelengde	Omkrets
1	$1$	$a$	$3a$
2	$\textcolor{seagreen}{3}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{2}}$	$\textcolor{seagreen}{3} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{2}} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a$
3	$\textcolor{seagreen}{9}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{4}}$	$\textcolor{seagreen}{9} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{4}} = 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a$
4	$\textcolor{seagreen}{27}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{8}}$	$\textcolor{seagreen}{27} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{8}} = 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a$
5	$\textcolor{seagreen}{81}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{16}}$	$\textcolor{seagreen}{81} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{16}} = 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a$

Figur

Antall trekanter

Sidelengde

Omkrets

$1$

$a$

$3a$

$\textcolor{seagreen}{3}$

$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{2}}$

$\textcolor{seagreen}{3} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{2}} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a$

$\textcolor{seagreen}{9}$

$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{4}}$

$\textcolor{seagreen}{9} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{4}} = 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a$

$\textcolor{seagreen}{27}$

$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{8}}$

$\textcolor{seagreen}{27} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{8}} = 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a$

$\textcolor{seagreen}{81}$

$\textcolor{steelblue}{\frac{a}{16}}$

$\textcolor{seagreen}{81} \cdot 3 \cdot \textcolor{steelblue}{\frac{a}{16}} = 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a$

Omkretsen av alle de svarte trekantene til sammen er (antall trekanter) $\times$ (omkrets per trekant) $=$ (antall trekanter) $\times 3 \times$ (sidelengde). Setter vi inn tallene fra tabellen, får vi nettopp

3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a, 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a, 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a og 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a

slik oppgaven ber om.

Etter $n$ gjentakelser av prosessen er antall svarte trekanter tredoblet $n$ ganger, altså $3^{n}$ , og sidelengden er halvert $n$ ganger, altså $\frac{a}{2^{n}}$ .

Total omkrets etter $n$ gjentakelser blir dermed

3^{n} \cdot 3 \cdot \frac{a}{2^{n}} = 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot a

Dette stemmer med resultatene i b), der $n = 1, 2, 3, 4$ gir nettopp de fire omkretsene som er vist der.

Siden $\frac{3}{2} > 1$ , vokser ${(\frac{3}{2})}^{n}$ uten grense når $n$ blir stor. Dermed går

3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot a \to \infty når n \to \infty

Dette forteller oss at selv om arealet av Sierpiński-trekanten går mot $0$ (jf. a)), går den totale omkretsen av de svarte trekantene mot uendelig. Sierpiński-trekanten er altså en figur med et areal lik $0$ , men en omkrets (randlengde) som er uendelig lang — et typisk trekk ved fraktaler.

$Omkretsen \to \infty når n \to \infty$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En fullgod løsning må først inneholde hva som tas bort (A, ikke 1) for så å konkludere med at arealet av Sierpinski-trekanten blir null.

Forklaringen må enten inneholde begrunnelse for alle fire omkretsene, eller en generell utledning av tallfølgen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Argumentasjon

Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer