Separabel differensiallikning med startverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{2} \cdot y^{'} = x, y (0) = 2

Fasit

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 16}{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{2} \cdot y^{'} = x$ er separabel. Vi skriver $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ og separerer variablene:

y^{2} d y = x d x

Integrerer på begge sider:

\int y^{2} d y = \int x d x

\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + C

Startbetingelsen $y (0) = 2$ gir

\frac{2^{3}}{3} = \frac{0^{2}}{2} + C \Rightarrow C = \frac{8}{3}

Setter inn $C$ og multipliserer likningen med $3$ :

\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3} \Rightarrow y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 = \frac{3 x^{2} + 16}{2}

Løser vi ut $y$ , får vi den partikulære løsningen

y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 16}{2}}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Innstillinger