Sensor for utelys og trigonometri

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på $T(x)$ timer etter midnatt. $T(x)$ er gitt ved

T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19.

$x$ er antall dager etter 31. desember 2023 slik at $x = 1$ svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen $T(x)$ passer med opplysningene gitt ovenfor.

Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 minutter per dag?

Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024 › Oppgave 2-3

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget.

Tidspunktet endrer seg 3 minutter per dag rundt $\underline{\underline{16. \text{ februar}}}$ , $\underline{\underline{14. \text{ mai}}}$ , $\underline{\underline{16. \text{ august}}}$ og $\underline{\underline{12. \text{ november}}}$ .

Tidspunktet endrer seg raskest rundt $\underline{\underline{31. \text{ mars}}}$ (og 29. september) med ca. $\underline{\underline{4{,}1 \text{ min/dag}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Modellen er $T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19$ .

Likevektslinjen 19 svarer til gjennomsnittet av minimums- og maksimumsverdi:

\frac{15 + 23}{2} = 19 \checkmark

Amplituden 4 svarer til halvparten av variasjonsbredden:

\frac{23 - 15}{2} = 4 \checkmark

Tidspunktet varierer altså mellom $19 - 4 = 15$ (kl. 15:00) og $19 + 4 = 23$ (kl. 23:00).

Perioden finner vi fra koeffisienten foran $x$ i argumentet:

P = \frac{2\pi}{0{,}0055\pi} = \frac{2}{0{,}0055} \approx 363{,}6 \text{ dager} \approx 1 \text{ år} \checkmark

Faseforskyvningen $-0{,}5\pi$ gir minimum der $\sin = -1$ , altså når

0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi = -0{,}5\pi \implies x = 0

$x = 0$ svarer til 31. desember 2023, og minimum $T = 15$ (kl. 15:00) tidligst på vinteren er rimelig.

Kontroll 1. april ( $x = 91$ , siden januar har 31 dager, februar 29 (skuddår) og mars 31):

T(91) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot 91 - 0{,}5\pi) + 19 \approx 19{,}01 \approx 19 \checkmark

Lyset slår seg på ca. kl. 19:00 den 1. april.

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere $T(x)$ , beregne den deriverte og løse $|T'(x)| = 0{,}05$ (siden $3 \text{ min/dag} = 0{,}05 \text{ t/dag}$ ).

GeoGebra CAS: T(x), derivert og løsninger av T'(x)=±0,05

Fra CAS-utklippet ser vi:

T'(x) = \frac{11}{500}\pi \cdot \cos\left(\frac{11}{2000}\pi x - \frac{1}{2}\pi\right) \approx 0{,}06912 \cdot \cos(0{,}01728x - 1{,}5708)

$T'(x) = 0{,}05$ (lyset slår seg på 3 min senere per dag):

x \approx 46{,}81 \quad \text{og} \quad x \approx 135{,}01

$T'(x) = -0{,}05$ (lyset slår seg på 3 min tidligere per dag):

x \approx 228{,}62 \quad \text{og} \quad x \approx 316{,}83

Vi konverterer til datoer (med $x = 1$ som 1. januar 2024):

$x$	Dato	Beskrivelse
$47$	ca. 16. februar	Lyset slår seg på 3 min/dag senere
$135$	ca. 14. mai	Lyset slår seg på 3 min/dag senere
$229$	ca. 16. august	Lyset slår seg på 3 min/dag tidligere
$317$	ca. 12. november	Lyset slår seg på 3 min/dag tidligere

Tidspunktet endrer seg 3 minutter per dag rundt 16. februar, 14. mai, 16. august og 12. november.

$|T'(x)|$ er størst når $|\cos(\ldots)| = 1$ , altså når cosinus-leddet er $\pm 1$ .

Maksimalt positiv endring (lyset slår seg på senest mulig per dag): $\cos(\ldots) = 1$ , som gir

0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi = 0 \implies x = \frac{0{,}5}{0{,}0055} = \frac{1000}{11} \approx 90{,}9

$x \approx 91$ svarer til ca. 31. mars / 1. april.

Fra CAS-utklippet: xMaks := 90,909 og Maks := 0,06912.

Den største endringsraten er

|T'(x)|_{\max} = 0{,}022\pi \approx 0{,}06912 \text{ t/dag} = 0{,}06912 \cdot 60 \approx 4{,}1 \text{ min/dag}

Tilsvarende skjer den raskeste negative endringen (lyset slår seg på tidligere) en halv periode senere:

x \approx 90{,}9 + \frac{363{,}6}{2} \approx 272{,}7 \approx \text{29. september}

Tidspunktet sensoren slår på lyset endrer seg raskest rundt 31. mars (og 29. september), med ca. $\underline{\underline{4{,}1 \text{ min/dag}}}$ .

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: trigonometri, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett