Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ for å finne ekstremalpunktene:

$f^{\prime }(x)=0$ gir $x=1$ og $x=3$. Grafen til $f$ er tegnet i GeoGebra nedenfor, med toppunktet og bunnpunktet markert.

Fra grafen (og ved innsetting $f(1)=1-6+9-1=3$ og $f(3)=27-54+27-1=-1$) leser vi av

Stigningstallet til linjen $l$ gjennom toppunktet $(\mathrm{1,3})$ og bunnpunktet $(3,-1)$:

Linjen $l$ har stigningstall $\underline{\underline{a_l=-2}}$.

Midtpunktet $m$ er gjennomsnittet av $x$-koordinatene til toppunktet og bunnpunktet:

Stigningstallet til tangenten $t$ i punktet $(m,f(m))=(2,f(2))$ er $f^{\prime }(m)$:

Tangenten $t$ har stigningstall $\underline{\underline{a_t=-3}}$.

Forholdet mellom stigningstallene til $l$ og $t$ er da

som er det vi skulle vise. I figuren over ser vi at $l$ (grønn) og $t$ (rød) begge går gjennom punktet $M=(2,f(2))$, og at $t$ er brattere enn $l$ — i samsvar med at $|a_t|>|a_l|$.

Vi prøver hypotesen på to andre tredjegradsfunksjoner med toppunkt og bunnpunkt.

Eksempel 1: $g(x)=x^3-3x+1$

Nullpunkter i $x=-1$ og $x=1$. Innsetting gir $g(-1)=-1+3+1=3$ og $g(1)=1-3+1=-1$, altså toppunkt $(-\mathrm{1,3})$ og bunnpunkt $(1,-1)$.

Midtpunktet er $m={\displaystyle \frac{-1+1}{2}}=0$, og

Eksempel 2: $h(x)=-x^3+3x^2+1$

Nullpunkter i $x=0$ og $x=2$. Innsetting gir $h(0)=1$ og $h(2)=-8+12+1=5$, altså bunnpunkt $(\mathrm{0,1})$ og toppunkt $(\mathrm{2,5})$.

Midtpunktet er $m={\displaystyle \frac{0+2}{2}}=1$, og

Hypotese: For enhver tredjegradsfunksjon $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ som har både et toppunkt og et bunnpunkt, er forholdet mellom stigningstallet til sekanten $l$ gjennom ekstremalpunktene og stigningstallet til tangenten $t$ i punktet med $x$-koordinat lik gjennomsnittet av ekstremalpunktenes $x$-koordinater, alltid

uavhengig av hvilke koeffisienter $a,b,c,d$ funksjonen har.