Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne terningen viser.

$k$	1	2	3	6
$P(X=k)$	$\frac{1}{6}$

a)

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at $E(X)=4$.

b)

Bestem $\text{Var}(X)$.

Fasit

a)

–

b)

13/3

Løsningsforslag

a)

$k$	$1$	$2$	$3$	$6$	Sum
$P(X=k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$	$1$
$k\cdot P(X=k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{3}{6}$	$\frac{18}{6}$	$\frac{24}{6}=4$
${(k-\mu )}^2\cdot P(X=k)$	$3^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{6}$	$2^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}$	$1^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$	$2^2\cdot \frac{3}{6}=\frac{12}{6}$	$\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$

Vi finner forventningsverdien ved å finne summen av rad 3 siden $E(X)=\sum k\cdot P(X=k)$

$$E(X)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{18}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Forventningsverdien $\mathrm{E}(X)=\underline{\underline{4}}$

b)

Vi finner variansen ved å summere rad 4 i tabellen siden $\text{Var}(X)=\sum {(k-\mu )}^2\cdot P(X=k)$

$$\text{Var}(X)=\frac{9}{6}+\frac{4}{6}+\frac{1}{6}+\frac{12}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$$

Variansen er $\mathrm{Var}(X)=\underline{\underline{\frac{13}{3}}}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

a)2p2 poeng

1 poeng for å fylle ut tabellen og 1 poeng for å finne $E(X)$.

b)2p2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.