Sannsynlighetsfordeling med likningssystem (s2 v15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:

$x$	0	1	2
$P (X)$	$a$	$b$	$c$

Vi får oppgitt at forventningsverdien $E (X) = \frac{1}{2}$ og variansen $Var (X) = \frac{1}{2}$ .

Vis at disse opplysningene gir likningssystemet

{\begin{matrix} a + b + c = 1 \\ b + 2 c = \frac{1}{2} \\ a + b + 9 c = 2 \end{matrix}

Bestem ved regning verdien av $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$a = \frac{5}{8}$ , $b = \frac{1}{4}$ , $c = \frac{1}{8}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker tre kjente egenskaper for sannsynlighetsfordelinger.

Likning i: Summen av alle sannsynligheter er 1:

a + b + c = 1

Likning ii: Forventningsverdien er $E (X) = \sum x \cdot P (X = x)$ :

E (X) = 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot c = b + 2 c

Siden $E (X) = \frac{1}{2}$ får vi:

b + 2 c = \frac{1}{2}

Likning iii: Variansen er $Var (X) = \sum {(x - μ)}^{2} \cdot P (X = x)$ der $μ = E (X) = \frac{1}{2}$ :

Var (X) = {(0 - \frac{1}{2})}^{2} \cdot a + {(1 - \frac{1}{2})}^{2} \cdot b + {(2 - \frac{1}{2})}^{2} \cdot c

= \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b + \frac{9}{4} c

Siden $Var (X) = \frac{1}{2}$ gir dette $\frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b + \frac{9}{4} c = \frac{1}{2}$ . Ganger vi med 4:

a + b + 9 c = 2

Dermed er likningssystemet vist:

{\begin{matrix} a + b + c = 1 \\ b + 2 c = \frac{1}{2} \\ a + b + 9 c = 2 \end{matrix}

Vi trekker likning i fra likning iii:

(a + b + 9 c) - (a + b + c) = 2 - 1 ⟹ 8 c = 1 ⟹ c = \frac{1}{8}

Setter $c = \frac{1}{8}$ inn i likning ii:

b + 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} ⟹ b + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ⟹ b = \frac{1}{4}

Setter inn i likning i:

a + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1 ⟹ a = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

a = \frac{5}{8}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{8}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Likningssystem

Innstillinger