Sannsynlighet for bunad med binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En undersøkelse viser at 9 % av norske menn bruker bunad på nasjonaldagen. Vi velger tilfeldig ut tre norske menn.

Hva er sannsynligheten for at ingen av dem bruker bunad på nasjonaldagen?

Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én av dem bruker bunad på nasjonaldagen?

Fasit

$\underline{\underline{P(X = 0) \approx 75{,}4 \,\%}}$

$\underline{\underline{P(X = 1) \approx 22{,}4 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $X$ være antall menn som bruker bunad på nasjonaldagen. $X$ er binomisk fordelt med $n = 3$ og $p = 0{,}09$ .

Den binomiske sannsynlighetsformelen er:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

der $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$ er antall måter å velge $k$ av $n$ på.

Vi vil finne sannsynligheten for at ingen av de tre mennene bruker bunad, det vil si $P(X = 0)$ .

P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}09^0 \cdot 0{,}91^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}91^3

Vi regner ut:

0{,}91^3 = 0{,}91 \cdot 0{,}91 \cdot 0{,}91 \approx 0{,}7536

Sannsynligheten for at ingen av de tre mennene bruker bunad er $\underline{\underline{P(X=0) \approx 75{,}4 \,\%}}$ .

Det vil si at om vi velger ut tre tilfeldige norske menn, er det litt over tre av fire sjanser for at ingen av dem har på seg bunad.

Vi vil finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de tre mennene bruker bunad, det vil si $P(X = 1)$ .

P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}09^1 \cdot 0{,}91^2

Vi regner ut hvert ledd:

$\binom{3}{1} = 3$ — det er 3 måter å velge ut hvilken av de tre mennene som har bunad
$0{,}09^1 = 0{,}09$
$0{,}91^2 = 0{,}8281$

P(X = 1) = 3 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}8281 = 3 \cdot 0{,}074529 \approx 0{,}2236

Vi kan også se dette med et valgtre. Vi kaller «bruker bunad» for B og «bruker ikke bunad» for I:

De tre uthevede radene gir nøyaktig én med bunad. Alle tre har samme sannsynlighet $0{,}09 \cdot 0{,}91^2 = 0{,}074529$ , og vi legger dem sammen:

P(X = 1) = 3 \cdot 0{,}074529 \approx 0{,}2236

Sannsynligheten for at nøyaktig én av de tre mennene bruker bunad er $\underline{\underline{P(X=1) \approx 22{,}4 \,\%}}$ .

Det vil si at om vi velger ut tre tilfeldige norske menn, er det litt over én av fem sjanser for at nøyaktig én av dem har på seg bunad.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter