Sammentrekning av rasjonale brøker med faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{1}{x} + \frac{x - 5}{x - 1} - \frac{2 x - 6}{x^{2} - x}

Fasit

$\frac{x - 5}{x}$ , for $x \neq 0$ og $x \neq 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har uttrykket

\frac{1}{x} + \frac{x - 5}{x - 1} - \frac{2 x - 6}{x^{2} - x}

Vi faktoriserer nevneren i den siste brøken: $x^{2} - x = x (x - 1)$ . Fellesnevneren for alle tre brøkene er dermed $x (x - 1)$ .

Vi utvider de to første brøkene til fellesnevner:

\frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x (x - 1)} \frac{x - 5}{x - 1} = \frac{x (x - 5)}{x (x - 1)}

Setter alt sammen over fellesnevneren:

\frac{(x - 1) + x (x - 5) - (2 x - 6)}{x (x - 1)}

Vi regner ut telleren:

x - 1 + x^{2} - 5 x - 2 x + 6 = x^{2} - 6 x + 5

Dette gir

\frac{x^{2} - 6 x + 5}{x (x - 1)}

Telleren faktoriseres: vi søker to tall som gir sum $- 6$ og produkt $5$ , det er $- 1$ og $- 5$ :

x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)

Uttrykket blir da

\frac{(x - 1) (x - 5)}{x (x - 1)} = \frac{x - 5}{x}

etter å ha forkortet bort faktoren $(x - 1)$ (gyldig siden $x \neq 1$ ).

Svar: $\frac{x - 5}{x}$ , for $x \neq 0$ og $x \neq 1$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2017, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Brøk, Algebra

Innstillinger