Rettvinklet trekant med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$△ A B C$ er rettvinklet. Et punkt $P$ på $A C$ er plassert slik at $P A + A B = P C + C B$ . Vi setter $P C = x$ og $C B = y$ .

Rettvinklet trekant ABC med punkt P

Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

{\begin{matrix} x + y = 30 \\ {(10 + x)}^{2} + 400 = y^{2} \end{matrix}

Bestem $x$ og $y$ ved å løse likningssystemet.

Fasit

Se forklaring nedenfor.

$x = 5 og y = 25$

LøsningsforslagKI-generert

Av figuren ser vi at $A P = 10$ og $A B = 20$ , og at trekanten $A B C$ er rettvinklet i $A$ .

Siden $P$ ligger på $A C$ med $A P = 10$ og $P C = x$ , er

A C = A P + P C = 10 + x

Trekanten $A B C$ er rettvinklet i $A$ , med $B C = y$ som hypotenus. Pytagoras’ setning gir da

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow 20^{2} + {(10 + x)}^{2} = y^{2} \Rightarrow {(10 + x)}^{2} + 400 = y^{2}

som er den andre likningen i systemet.

Videre er $P A + A B = P C + C B$ gitt i oppgaven. Siden $P A = 10$ og $A B = 20$ , blir dette

10 + 20 = x + y \Rightarrow x + y = 30

som er den første likningen. Dermed kan likningssystemet brukes til å bestemme sidene i trekanten.

Fra den første likningen har vi $y = 30 - x$ . Setter vi dette inn i den andre likningen:

{(10 + x)}^{2} + 400 = {(30 - x)}^{2}

Vi gangar ut begge parentesene:

100 + 20 x + x^{2} + 400 = 900 - 60 x + x^{2}

Ledd med $x^{2}$ kansellerer:

500 + 20 x = 900 - 60 x

80 x = 400

x = 5

Dermed er

y = 30 - x = 30 - 5 = 25

Kontroll: ${(10 + 5)}^{2} + 400 = 225 + 400 = 625 = 25^{2}$ . ✓ (Trekanten $A B C$ har dermed sidene $A C = 15$ , $A B = 20$ , $B C = 25$ — en $3$ - $4$ - $5$ -trekant skalert med $5$ .)

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2015, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Geometri, Rettvinklet trekant

Rettvinklet trekant med likningssystem

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant med likningssystem

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant med likningssystem

Rettvinklet trekant med likningssystem

Lov på eksamen

Temaer