Rektangel under graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{8}{x^2 + 20}

Graf til f med rektangel innskrevet

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(5, f(5))$ og $(0, f(5))$ .

Bestem arealet av rektangelet.

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(n, 0)$ , $(n, f(n))$ og $(0, f(n))$ for $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$

Bestem $k$ slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(k, 0)$ , $(k, f(k))$ og $(0, f(k))$ , blir størst mulig.

Fasit

$\frac{8}{9}$

–

$2\sqrt{ 5 } \approx 4{,}47$

Løsningsforslag

Rektangelet har bredde $5$ og høyde $f(5)$ .

f(5)=\frac{8}{5^{2}+20}=\frac{8}{45}

\text{Areal}=5 \cdot \frac{8}{45}=\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}

Arealet er $\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}$ .

Den enkleste måten å lage en systematisk oversikt er med et regneark.

Oversikt over arealer

Ut fra oversikten ser det ut til at svaret vil være når bredden er omtrent 4,5. For å bestemme dette eksakt kan vi lage en arealfunksjon:

A(x)= \text{Bredde} \cdot \text{Høyde} = x \cdot f(x)=x \cdot \frac{8}{x^{2}+20}

For å finne toppunktet til funksjonen deriverer vi den i CAS og setter den deriverte lik 0.

Finner største areal i CAS

Arealet er størst når $\underline{\underline{ k=2\sqrt{ 5 } }}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Mindre systematiske og mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: optimering, derivasjon, funksjoner, cas
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar