Rektangel innskrevet i trekant

Klassen til Maria og Marta arbeider med oppgaven nedenfor.

Martin og Maria diskuterer hvordan de skal komme i gang, og vurderer ulike strategier.

Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria, og løs oppgaven klassen har fått.

Fasit

$P = (3, 3)$ , maksimalt areal $= \underline{\underline{18}}$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Finn likningen for linje BC

Maria sier at $y = 6 - x$ . Vi kan verifisere: linjen går gjennom $B(6, 0)$ og $C(0, 6)$ .

Stigningstall: $\dfrac{6 - 0}{0 - 6} = -1$ , og skjæring med $y$ -aksen er $6$ , så

y = -x + 6

Dermed: Velger vi et punkt $P$ med $x$ -koordinat $x$ , blir $y$ -koordinaten $y = 6 - x$ .

Steg 2: Sett opp arealet

Rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen (trekanten er symmetrisk). Det betyr at:

Bredde $= 2x$ (fra $-x$ til $x$ langs $x$ -aksen)
Høyde $= y = 6 - x$

Arealet blir:

A(x) = 2x \cdot (6 - x) = 12x - 2x^2

Steg 3: Prøv deg fram (som Martin foreslår)

$x$	$y = 6 - x$	Bredde $= 2x$	Areal $= 2x \cdot y$
1	5	2	10
2	4	4	16
3	3	6	18
4	2	8	16
5	1	10	10

Tabellen viser at $x = 3$ gir størst areal.

Steg 4: Tegn grafen i GeoGebra

Vi setter inn $A(x) = 2x(6-x)$ i GeoGebra og ber programmet finne toppunktet:

Graf av A(x) = 2x(6-x) med toppunkt B = (3, 18)

GeoGebra finner toppunktet $B = (3, 18)$ , det vil si at $x = 3$ gir maksimalt areal.

Steg 5: Finn koordinatene til P

Når $x = 3$ :

y = 6 - 3 = 3

Koordinatene til $P$ er $(3, 3)$ , og det maksimale arealet er $A(3) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = \underline{\underline{18}}$ .

Sensorveiledning

For å få full uttelling, må kandidaten ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria og løse oppgaven riktig.

Samtalen dreier seg om å

bestemme arealet av rektangelet når $x$ og $y$ er kjent
lage en oversikt som viser ulike arealer for å finne et rektangel som kan være det største
forklare at $y = 6 - x$
sette opp et funksjonsuttrykk som viser arealet av rektangelet
tegne grafen til funksjonen
bruke funksjonen til å bestemme $x$ og $y$ slik at rektangelet blir størst mulig

En kandidat som viser høy måloppnåelse, får 5 eller 6 poeng. En kandidat som viser middels måloppnåelse, får 3 eller 4 poeng. En kandidat som viser lav måloppnåelse, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: geometri, areal, lineær vekst, optimering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv