Diagonalen $AB$ i rektangelet er diameteren i sirkelen, siden rektangelets hjørner ligger på sirkelen og diagonalen går gjennom sentrum. Da er $AB=5$, og Pytagoras’ setning på den rettvinklede trekanten med kateter $x$ og $y$ og hypotenus $5$ gir

Løser for $y$:

Arealet av rektangelet er $T=x\cdot y$, så

som er det som skulle vises.

For at $x$ og $y$ skal være reelle, positive sidelengder, må $25-x^2>0$, altså $x<5$. Samtidig må $x>0$ for at det skal være en side i et rektangel. Derfor er

Vi deriverer $T(x)=x\sqrt{25-x^2}$ med produktregelen. GeoGebra CAS gir (se dT(t) i utklippet)

Kritiske punkt der $T^{\prime }(x)=0$, altså der telleren er null:

CAS-linje 2 (Løs(25-2t^2=0,t)) gir $t=-{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$ eller $t={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$. Siden $x>0$, er

Fortegnet til $T^{\prime }(x)$ skifter fra positivt til negativt her (telleren $25-2x^2$ går fra positiv til negativ når $x$ passerer $\frac{5\sqrt{2}}{2}$), så dette er et maksimumspunkt.

Da er

Maksimalt areal blir (bekreftet numerisk i CAS: $\mathrm{12,5}$)

$\underline{\underline{x=y={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{3,54}}}$, altså blir arealet størst når rektangelet er et kvadrat, med et maksimalt areal på $\mathrm{12,5}$.

Omkretsen av rektangelet er $O=2x+2y$. Siden $y=\sqrt{25-x^2}$, får vi

som er det som skulle vises.

Vi deriverer med kjerneregelen. GeoGebra CAS gir (se dO(t) i utklippet)

Setter $O^{\prime }(x)=0$:

CAS-linje 4 (Løs(t=sqrt(25-t^2),t)) gir

Dette er samme verdi som i b). Kvadrering av begge sider viser hvorfor: $x^2=25-x^2\Rightarrow x^2=\mathrm{12,5}$, akkurat samme likning som ga maksimalt areal. Fortegnet til $O^{\prime }(x)$ går fra positivt til negativt her, så dette er et maksimumspunkt.

Siden $x=y$ igjen, blir rektangelet et kvadrat også her. Maksimal omkrets blir (bekreftet numerisk i CAS)

$\underline{\underline{x={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{3,54}}}$ gir størst omkrets, med $O_{\text{maks}}=10\sqrt{2}\approx \mathrm{14,14}$.

Kommentar: Både arealet og omkretsen av rektangelet blir størst når rektangelet er et kvadrat. Det er ikke tilfeldig — begge optimeringsproblemene er symmetriske i $x$ og $y$ (bytter vi $x$ og $y$, endres verken $T$ eller $O$), og da må maksimum inntreffe der $x=y$.