Rekke med delte differanser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig rekke er gitt ved

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \dots

$n$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	1
2	7	8	$2^{3}$
3	19
4
5		125	$5^{3}$
6	91	216

Skriv av og fyll ut tabellen. Foreslå en formel for $S_{n}$ .

Forklar at $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ . Bruk dette til å vise at $a_{n}$ også kan skrives $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ .

Fasit

$S_{n} = n^{3}$

$a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi fyller ut tabellen ved å legge sammen leddene fra rekken $1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \dots$ :

$n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1	$1^3$
2	7	8	$2^3$
3	19	27	$3^3$
4	37	64	$4^3$
5	61	125	$5^3$
6	91	216	$6^3$

Vi ser at partialsummen $S_{n}$ alltid er lik $n$ opphøyd i tredje, så vi foreslår formelen

S_{n} = n^{3}

Partialsummen $S_{n}$ er summen av de $n$ første leddene, mens $S_{n - 1}$ er summen av de $n - 1$ første leddene. Differansen mellom disse to summene er nettopp det $n$ -te leddet, altså

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

Vi setter inn formelen $S_{n} = n^{3}$ fra a):

a_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3}

Vi utvider ${(n - 1)}^{3} = n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1$ , som gir

a_{n} = n^{3} - (n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1) = n^{3} - n^{3} + 3 n^{2} - 3 n + 1 = 3 n^{2} - 3 n + 1

Dette bekrefter at $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2015, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger

Rekke med delte differanser

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rekke med delte differanser

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rekke med delte differanser

Rekke med delte differanser

Lov på eksamen

Temaer