En rasjonal funksjon kan alltid skrives på formen

$$f(x) = \frac{a(x - x_0)}{x - x_1}$$

der $x_0$ er nullpunktet, $x_1$ gir den vertikale asymptoten, og $a$ bestemmer den horisontale asymptoten.

Vertikal asymptote $x = 2$: Nevneren er null når $x = 2$, så nevneren har faktoren $(x - 2)$.

Nullpunkt $x = -3$: Telleren er null når $x = -3$, så telleren har faktoren $(x + 3)$.

Funksjonen er dermed

$$f(x) = \frac{a(x+3)}{x-2}$$

Horisontal asymptote $y = 4$: Når $x \to \pm\infty$ dominerer de ledende leddene:

$$f(x) = \frac{a(x+3)}{x-2} \approx \frac{ax}{x} = a$$

Vi trenger $a = 4$.

Funksjonsuttrykket blir:

$$\underline{\underline{f(x) = \frac{4(x+3)}{x-2}}}$$

Verifikasjon:

• $f(-3) = \frac{4 \cdot 0}{-3-2} = 0$ — nullpunkt i $x = -3$ ✓
• $f(2)$: nevner $= 0$ — vertikal asymptote i $x = 2$ ✓
• $f(x) \to 4$ når $x \to \pm\infty$ — horisontal asymptote $y = 4$ ✓

Grafen nedenfor viser begge grenene av $f$, de stiplede asymptotene og nullpunktet $(-3, 0)$: