Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$ . Nullpunktet til funksjonen er $x = - 3$ .

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f (x)$ . Gjør rede for hvordan du har tenkt for å komme fram til funksjonsuttrykket.

Fasit

f (x) = \frac{4 (x + 3)}{x - 2}

LøsningsforslagKI-generert

En rasjonal funksjon kan alltid skrives på formen

f (x) = \frac{a (x - x_{0})}{x - x_{1}}

der $x_{0}$ er nullpunktet, $x_{1}$ gir den vertikale asymptoten, og $a$ bestemmer den horisontale asymptoten.

Vertikal asymptote $x = 2$ : Nevneren er null når $x = 2$ , så nevneren har faktoren $(x - 2)$ .

Nullpunkt $x = - 3$ : Telleren er null når $x = - 3$ , så telleren har faktoren $(x + 3)$ .

Funksjonen er dermed

f (x) = \frac{a (x + 3)}{x - 2}

Horisontal asymptote $y = 4$ : Når $x \to \pm \infty$ dominerer de ledende leddene:

f (x) = \frac{a (x + 3)}{x - 2} \approx \frac{a x}{x} = a

Vi trenger $a = 4$ .

Funksjonsuttrykket blir:

f (x) = \frac{4 (x + 3)}{x - 2}

Verifikasjon:

Grafen nedenfor viser begge grenene av $f$ , de stiplede asymptotene og nullpunktet $(- 3, 0)$ :

Rasjonal funksjon med asymptoter og nullpunkt

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få uttelling, må kandidaten argumentere matematisk for at uttrykket er riktig. Et uttrykk som tilfredsstiller to av kravene, kan gi ett poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Innstillinger