Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant med innskrevet sirkel

Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).

Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!

Bestem radius $r$ i sirkelen ved hjelp av Pytagoras-setningen.

Fasit

$r = 31,25$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $A B C$ er likebeint med $A C = B C = 50$ og $A B = 60$ . Sirkelen går gjennom alle de tre hjørnene $A$ , $B$ og $C$ , med sentrum $O$ og radius $r = O A = O B = O C$ .

Steg 1: Finn høyden fra $C$

La $M$ være midtpunktet på $A B$ . Siden trekanten er likebeint, står $C M$ vinkelrett på $A B$ , og $M$ deler $A B$ i to like deler:

A M = M B = \frac{60}{2} = 30

I den rettvinklede trekanten $A C M$ gir Pytagoras-setningen høyden $h = C M$ :

h^{2} + 30^{2} = 50^{2}

h = \sqrt{50^{2} - 30^{2}} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40

Steg 2: Sett opp likning for $r$

Av symmetrigrunner ligger sentrum $O$ på linjen $C M$ . Siden $O C = r$ , er avstanden fra $O$ til $M$ lik

O M = h - r = 40 - r

I den rettvinklede trekanten $O M A$ (rettvinklet i $M$ ) gir Pytagoras-setningen:

O A^{2} = O M^{2} + M A^{2}

r^{2} = {(40 - r)}^{2} + 30^{2}

Steg 3: Løs likningen

Løst i GeoGebra CAS (se utklipp):

Løsning i GeoGebra CAS

r^{2} = 1600 - 80 r + r^{2} + 900 \Rightarrow 80 r = 2500 \Rightarrow r = \frac{2500}{80} = \frac{125}{4} = 31,25

Radius i sirkelen er dermed

r = 31,25

Oppgavedata

Hentet fra: R1 E2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Rettvinklet trekant

Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer