Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras’ setning. På figuren nedenfor har vi tegnet en trekant $A B C$ der $∠ C = 90 °$ . Fotpunktet for høyden fra hjørnet $C$ til siden $A B$ kalles $D$ .

Trekant ABC med høyde CD til AB

Forklar at $△ A B C$ , $△ A C D$ og $△ C B D$ er formlike.

Bruk a) til å vise at $A C^{2} = A B \cdot A D$ og at $B C^{2} = A B \cdot D B$ .

Bruk b) til å bevise Pytagoras’ setning.

Fasit

De tre trekantene har parvis like vinkler (rett vinkel og felles spissvinkel), og er dermed formlike

$A C^{2} = A B \cdot A D$ og $B C^{2} = A B \cdot D B$

$A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på de tre trekantene $△ A B C$ , $△ A C D$ og $△ C B D$ .

$△ A B C$ har en rett vinkel i $C$ (gitt).
$△ A C D$ har en rett vinkel i $D$ , siden $C D$ er høyden og står vinkelrett på $A B$ .
$△ C B D$ har en rett vinkel i $D$ , av samme grunn.

Videre har $△ A B C$ og $△ A C D$ vinkel $A$ felles (det er samme vinkel, siden $D$ ligger på $A B$ ). To trekanter med to like vinkler (rett vinkel og felles vinkel $A$ ) er formlike, så

△ A B C \sim △ A C D

Tilsvarende har $△ A B C$ og $△ C B D$ vinkel $B$ felles, så

△ A B C \sim △ C B D

Siden begge trekantene er formlike med $△ A B C$ , er de også formlike med hverandre:

△ A B C \sim △ A C D \sim △ C B D

Fra formlikheten $△ A B C \sim △ A C D$ svarer hjørnene til hverandre i rekkefølgen $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow D$ (siden vinkel $A$ er felles, og de rette vinklene er i henholdsvis $C$ og $D$ ). Forholdet mellom tilsvarende sider er da likt:

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}

Vi ganger med $A C \cdot A D$ på begge sider:

A C^{2} = A B \cdot A D

Tilsvarende gir formlikheten $△ A B C \sim △ C B D$ , med hjørnene $B \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow D$ :

\frac{A B}{C B} = \frac{C B}{D B}

Vi ganger med $C B \cdot D B$ på begge sider:

B C^{2} = A B \cdot D B

Vi legger sammen de to likningene fra b):

A C^{2} + B C^{2} = A B \cdot A D + A B \cdot D B = A B \cdot (A D + D B)

Siden $D$ ligger på linjestykket $A B$ , er $A D + D B = A B$ . Dermed blir

A C^{2} + B C^{2} = A B \cdot A B = A B^{2}

Dette er nettopp Pytagoras’ setning:

A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2009, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Bevis, Geometri, Formlike trekanter

Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Lov på eksamen

Temaer