Pyramide med proporsjonal høyde

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

der $G$ er arealet av grunnflaten, og $h$ er høyden.

Ole arbeider med pyramider der

En av pyramidene har et volum på $9 d m^{3}$ .

Pyramide

Hvor høy er denne pyramiden?

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med.

Avgjør om påstanden er riktig. Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

$h = 3 dm$

Nei – $V = h^{3} / 3$ , ikke proporsjonalt

Løsningsforslag

Grunnflaten er et kvadrat med side $s$ , og høyden er $h = s$ .

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot s^{2} \cdot s = \frac{s^{3}}{3}

Setter inn $V = 9 d m^{3}$ :

\frac{s^{3}}{3} = 9 ⟹ s^{3} = 27 ⟹ s = 3

Siden høyden er lik sidekanten, er $h = s = 3$ .

Pyramiden er $3 dm$ høy.

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet $V / h$ være konstant.

Uttrykket for volum er $V = \frac{h^{3}}{3}$ , så

\frac{V}{h} = \frac{h^{3} / 3}{h} = \frac{h^{2}}{3}

Dette avhenger av $h$ og er ikke konstant. Vi kan verifisere med noen verdier:

Påstanden er feil. Høyde og volum er ikke proporsjonale fordi forholdet $V / h$ ikke er konstant.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. Riktig svar uten benevning kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2025, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Innstillinger