Vi skriver $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ med

Da er $u^{\prime }(x)=6$. For $v(x)$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $h(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}$, slik at $h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{x}{4}}$:

Produktregelen gir

som er det vi skulle vise. $■$

Vi tegner grafen til $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(4-x^2)\cdot e^{-\frac{x^2}{8}}$ for $x\in ⟨-6,6⟩$ i GeoGebra (kalt $g$ på figuren). Nullpunktene $x=-2$ og $x=2$, samt topp- og bunnpunktene på grafen til $f^{\prime }$ ($x=0$ og $x=\pm 2\sqrt{3}$), er markert:

Topp- og bunnpunkter på $f$: Disse finner vi der $f^{\prime }(x)=0$ og skifter fortegn. Av grafen ser vi at

• For $x<-2$ er $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende $f$).
• For $-2<x<2$ er $f^{\prime }(x)>0$ (voksende $f$).
• For $x>2$ er $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende $f$).

Siden $f^{\prime }$ skifter fra negativ til positiv i $x=-2$, har $f$ et bunnpunkt der. Siden $f^{\prime }$ skifter fra positiv til negativ i $x=2$, har $f$ et toppunkt der. Vi regner ut funksjonsverdiene:

Dette gir bunnpunkt $(-2,-12e^{-\frac{1}{2}})\approx (-2,-\mathrm{7,28})$ og toppunkt $(2,12e^{-\frac{1}{2}})\approx (2,\mathrm{7,28})$.

Vendepunkter på $f$: Disse finner vi der grafen til $f^{\prime }$ selv har topp- eller bunnpunkter, altså der $f^{\prime \prime }(x)=0$ og skifter fortegn. Av grafen til $f^{\prime }$ leser vi av at $f^{\prime }$ har toppunkt i $x=0$ og bunnpunkter i $x=-2\sqrt{3}\approx -\mathrm{3,46}$ og $x=2\sqrt{3}\approx \mathrm{3,46}$. Vi setter disse $x$-verdiene inn i $f$:

Dette gir vendepunktene $(0,0)$, $(2\sqrt{3},12\sqrt{3}{e}^{-\frac{3}{2}})\approx (\mathrm{3,46},\mathrm{4,64})$ og $(-2\sqrt{3},-12\sqrt{3}{e}^{-\frac{3}{2}})\approx (-\mathrm{3,46},-\mathrm{4,64})$.