Potensfunksjon for vannstrøm ved fallhøyde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Illustrasjon av to målebegre koblet med en slange, der fallhøyden h er markert

I en naturfagstime har elevene i klasse 3STPB undersøkt hvor lang tid det tar for 2,5 dL vann å renne fra ett målebeger til et annet ved ulike fallhøyder $h$ . Se figuren ovenfor.

Resultatene av målingene ser du i tabellen nedenfor.

Fallhøyde (meter)	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,85
Tid (sekunder)	66,2	54,2	38,4	30,9	24,9	21,7	19,3	17,2	15,8

Anta at sammenhengen mellom fallhøyden $x$ meter og tiden $T(x)$ sekunder det tar for vannet å renne fra ett målebeger til et annet, kan beskrives med en modell av typen

T(x) = a \cdot x^b

Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ .

Hvor mange prosent avtar tiden med når fallhøyden øker med 40 %?

Fasit

$\underline{\underline{T(x) \approx 14{,}22 \cdot x^{-0{,}82}}}$

$\underline{\underline{\approx 24 \,\%}}$ avtak

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $a$ og $b$ i modellen $T(x) = a \cdot x^b$ ved hjelp av datapunktene i tabellen.

Fremgangsmåte i GeoGebra:

Åpne GeoGebra og velg «Regneark».
Skriv inn fallhøydene i kolonne A og tidene i kolonne B:

A (fallhøyde) B (tid)
0,15 66,2
0,20 54,2
0,30 38,4
0,40 30,9
0,50 24,9
0,60 21,7
0,70 19,3
0,80 17,2
0,85 15,8
Marker alle cellene, velg «To-variabel regresjonsanalyse» og velg modellen «Potensfunksjon».
GeoGebra beregner $a$ og $b$ .

A (fallhøyde)	B (tid)
0,15	66,2
0,20	54,2
0,30	38,4
0,40	30,9
0,50	24,9
0,60	21,7
0,70	19,3
0,80	17,2
0,85	15,8

Graf som viser potensfunksjonsregresjon for vannstrøm ved ulik fallhøyde

Regresjonen gir:

T(x) \approx 14{,}22 \cdot x^{-0{,}82}

$a \approx 14{,}22$ betyr at ved fallhøyde $x = 1 \,\mathrm{m}$ tar det omtrent $14{,}22 \,\mathrm{s}$ for vannet å renne over.

$b \approx -0{,}82$ betyr at sammenhengen er en avtagende potensfunksjon — jo høyere fallhøyde, jo kortere tid.

Svar: $\underline{\underline{T(x) \approx 14{,}22 \cdot x^{-0{,}82}}}$

Vi skal finne den prosentvise endringen i $T(x)$ når fallhøyden $x$ øker med $40 \,\%$ .

En økning på $40 \,\%$ betyr at den nye fallhøyden er $1{,}4 \cdot x$ .

Vi regner ut forholdet mellom ny og gammel tid:

\frac{T(1{,}4x)}{T(x)} = \frac{a \cdot (1{,}4x)^b}{a \cdot x^b} = 1{,}4^b

Vi setter inn $b \approx -0{,}82$ :

1{,}4^{-0{,}82} \approx 0{,}759

Prosentvis endring:

(0{,}759 - 1) \cdot 100 \,\% \approx -24{,}1 \,\%

Tiden avtar med omtrent $24 \,\%$ når fallhøyden øker med $40 \,\%$ . Det betyr at jo høyere begerene henger over hverandre, jo raskere renner vannet over.

Svar: Tiden avtar med $\underline{\underline{\approx 24 \,\%}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Modellering, Regresjon, Funksjoner, Prosentregning

Potensfunksjon for vannstrøm ved fallhøyde

Sync på tvers av enheter

Potensfunksjon for vannstrøm ved fallhøyde

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave