Den deriverte er $f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-3)$, med nullpunkter $x=-1$ og $x=3$. Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)$ ved å se på fortegnet til faktorene $(x+1)$ og $(x-3)$:

Dermed vokser $f$ på $⟨-\infty ,-1⟩$ og på $⟨3,\infty ⟩$, og avtar på $⟨-1,3⟩$.

Siden $f^{\prime }$ går fra positiv til negativ ved $x=-1$, har grafen til $f$ et toppunkt ved $x=-1$. Siden $f^{\prime }$ går fra negativ til positiv ved $x=3$, har grafen til $f$ et bunnpunkt ved $x=3$.

Vi utvider $f^{\prime }(x)$ og deriverer på nytt:

Vendepunktet finner vi der $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $f^{\prime \prime }(x)$ er lineær med positiv stigning, skifter den fortegn (fra negativ til positiv) nettopp i $x=1$, så dette er et ekte vendepunkt. Merk at $x=1$ ligger midt mellom toppunktet ($x=-1$) og bunnpunktet ($x=3$), akkurat slik oppgave c) ber oss vise generelt.

Vi har $g^{\prime }(x)=a(x-b)(x-c)$, der $a,b,c>0$ og $b<c$.

Hvorfor bare ett vendepunkt: Vi utvider $g^{\prime }(x)$:

Dette er et andregradsuttrykk i $x$, så den deriverte $g^{\prime \prime }(x)$ blir lineær:

En lineær funksjon med $a\ne 0$ har nøyaktig ett nullpunkt og skifter fortegn akkurat der. Grafen til $g$ kan derfor bare ha ett vendepunkt.

Vendepunktets plassering: Vi løser $g^{\prime \prime }(x)=0$:

Topp- og bunnpunkt: Siden $a>0$ og $b<c$, gir samme type fortegnsdrøfting som i a) at $g^{\prime }(x)>0$ for $x<b$, $g^{\prime }(x)<0$ for $b<x<c$, og $g^{\prime }(x)>0$ for $x>c$. Dermed er $x_{\text{maks}}=b$ og $x_{\text{min}}=c$.

Konklusjon: Vendepunktets førstekoordinat er

som viser at vendepunktet ligger nøyaktig midt mellom topp- og bunnpunktet.