Polynomdivisjon og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 19 x + 30

Utfør polynomdivisjonen $P (x) : (x - 2)$ .

Løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Forkort brøken

\frac{x^{3} - 19 x + 30}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}

Fasit

$P (x) : (x - 2) = x^{2} + 2 x - 15$

$x \in [- 5, 2] \cup [3, \to ⟩$

$\frac{x + 5}{x + 3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører polynomdivisjonen $P (x) : (x - 2)$ :

\begin{matrix} (x^{3} + 0 x^{2} - 19 x + 30 & ) : (x - 2) = x^{2} + 2 x - 15 \\ x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 0 \\ 2 x^{2} - 19 x + 30 \\ 2 x^{2} - 4 x + 0 \\ - 15 x + 30 \\ - 15 x + 30 \\ 0 \end{matrix}

Vi får $P (x) = (x - 2) (x^{2} + 2 x - 15)$ .

Vi faktoriserer $x^{2} + 2 x - 15$ :

x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)

Dermed er $P (x) = (x - 2) (x + 5) (x - 3)$ med nullpunkter $x = - 5$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

Vi lager en fortegnslinje:

Fortegnslinje for P(x)

P (x) \geq 0 for x \in [- 5, 2] \cup [3, \to ⟩

Vi faktoriserer nevneren. Vi prøver $x = 2$ :

Q (2) = 8 - 8 - 18 + 18 = 0 ✓

Vi utfører $Q (x) : (x - 2)$ og får $Q (x) = (x - 2) (x^{2} - 9) = (x - 2) (x - 3) (x + 3)$ .

Dermed:

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{(x - 2) (x + 5) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3) (x + 3)} = \frac{x + 5}{x + 3}

der $x \neq 2$ og $x \neq 3$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger